Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 89

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 103 >> Следующая

где q° (t) = (Vt)* qV°t, р° (t) = (V°t)* pV°. Дифференцируя уравнения
свободного движения (III.8.2) по х и (III.8.3) по v, получаем операторные
уравнения, аналогичные уравнениям свободного движения в классической
механике:
Подставляя это в (4.6), получаем окончательно неравенство для дисперсии
любого несмещенного измерения УИ силы F:
SF = elFAS°te-iFA,
(4.4)
где
(4.5)
Dso(A) = ^Ds(q°(t)-^t), (4.6)
р°(0 = р. *°(0=*+-?#.
(4.7)
(4.8)
которое имеет место в предположении, что р и q имеют конечные вторые
моменты относительно состояния S.
§41
ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА ОБЪЕКТ
277
Предположим дополнительно, что q и р некоррелиро-ваны относительно
исходного состояния S, т. е. при t - О
<<7-Es(<7), p-Es(p))s = 0. (4.9)
Тогда неравенство (4.8) принимает вид
DMM} ¦ -[Ds (q) + ~ Ds (р)]-\ (4.10)
Заметим, что в силу соотношения неопределенностей
й т
максимальное значение правой части равно и достигается при Ds(p) = -y->
Ds (q) = ~^- Таким образом, п р и
наименее выгодных для экспериментатора исходных условиях
D (4-11)
Приготовляя соответствующим образом начальное состояние, можно в принципе
добиться измерения F со сколь угодно высокой точностью при фиксированном
t. Чтобы это показать, рассмотрим наблюдаемые вида
B = a^ + P-f (а + Р = 1),
которые удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению с А:
[А, В] = И.
Более точно, соответствующие унитарные группы удовлетворяют соотношению
Вейля типа (II 1.4.1):
giAtgiBsg-iAt g-istgiBs
Это легко следует из выражений для А и В, которые являются линейными
комбинациями р и q, и соотношения Вейля -Сигала (III.3.2). Отсюда, как и
в § III.4, вытекает, что наблюдаемая В задает ковариантное и, значит,
несмещенное (с точностью до постоянной) измерение параметра F в семействе
(4.4). Чтобы получить несмещенное измерение, следует вычесть из р и q их
средние значения Eso(p) = Es(p), Eso (q) - Es (q) + E ? (p). Учиты-
278
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
(ГЛ. VI
вая (4.7) и (4.9), получаем дисперсию
Dso (fi) = Ds [а
2m(<7+-p
¦Рт =
4m2
Ds(<?)a*+-^
(2а + Р)а-
Минимум этой величины при условии а-гается при а = - Ds (р) ~ Ds (q) + Ds
(р) несмещенной оценке
Я* = Н [Ds (рГ1 + ^ D s (9)-1]-1 х
Р = 1 дости-1
, т. е. на
X
Р - Ес (Р)
t
~2т
Ds (р) 2m Ds(q) и равен
D50 (BJ = [Ds ip)-1 + ^D s (qy'Y ^
Dj (?) • (p)
(4.12)
D5^) + ^DS(P)]- (4ЛЗ)
Как и должно быть, эта величина удовлетворяет неравенству (4.10), причем
равенство достигается, если S - состояние минимальной неопределенности.
Из (413) видно, что дисперсия измерения силы стремится к нулю, если одна
из величин Ds(p), Dsiq) стремится к нулю. Пусть Ds(p)^0, т. е. исходное
состояние имеет почти точно определенный импульс Es (р),
р-Е с (р)
тогда из (4.12) следует, что ^-. в этом слу-
р-Es (р)
чае наблюдаемая ------^---- дает почти точное значение
измеряемой силы, что, очевидно, согласуется с "полу-классическими"
соображениями, основанными на законе сохранения импульса F-t = Ap. Если
же D$iq)^0, то из (4.12) следует, что
2т /
т
(4.14)
ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА ОБЪЕКТ
279
С точки зрения классических аналогий смысл этого выражения также понятен:
q - p- есть значение координаты при t - О, которое привело бы к значению
q в момент t при отсутствии силы. В квантовой механике <7 - р ~ = V-tq
{V-t)* имеет аналогичный смысл,
однако характер измерительной процедуры, отвечающей наблюдаемым типа
(4.14), (4.12) уже не очевиден, поскольку <7 и р являются несовместимыми
наблюдаемыми.
Не затрагивая здесь вопроса о практической реализуемости, укажем
принципиальную возможность измерения произвольной линейной комбинации
координаты q и импульса р в квантовой механике. Устранив несущественный
коэффициент, можно считать, что речь идет об измерении наблюдаемой вида
<7cost-f р sint (0<т<2л;). Из теории квантового осциллятора (§ III.10)
известно, что
<7COst-f р sinr = V%qVx, (4.15)
где Vx - унитарные операторы, описывающие динамику осциллятора с частотой
со = 1. Поэтому измерение наблюдаемой (4.15) в состоянии S эквивалентно
измерению q в состоянии VTSV?. Таким образом, если в течение промежутка
времени [t, tf-f т] объект находится в подходящем квадратичном
потенциальном поле, то распределение вероятностей его координаты в момент
t-\- т будет таким же, как распределение вероятностей наблюдаемой q cos х
р sin т в момент t. (Если речь идет об исходной задаче измерения силы, то
действие силы в промежутке \t, ^ -f- т] должно быть каким-либо образом
исключено - например, посредством экранирования или перевода движения в
плоскость, перпендикулярную направлению силы.)
В заключение покажем, что если исходное состояние S - гауссовское., то
наблюдаемая (4.12) дает наилучшее несмещенное измерение, а величина
(4.13) - нижнюю границу дисперсий в классе всех локально несмещенных
измерений параметра силы F.
Найдем симметричную логарифмическую производную LP семейства {S/ф.
Согласно предыдущему параграфу, достаточно это сделать для F = 0. В силу
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed