Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
от выбора весовой матрицы. Для одномерного параметра S8 |М) -g-Do {Л1},
где De {Л1}-дисперсия несмещенного измерения М.
Вводя матрицу ковариации измерения
Вь{М\ = (0, - 0,) (6* - 0*) ц8 (d"0)] [bik {Л1}], (1.1)
имеем
|Л1} = Тг о в, |Л1} = 2 gjkb,k {М};
*
здесь Тг -след матрицы.
Несмещенное измерение называется наилучшим (для данного значения
параметра 0), если оно минимизирует S8{M} среди всех несмещенных
измерений. Если существует измерение, минимизирующее 26{Ж} для всех беб,
то оно называется равномерно наилучшим.
В этой главе мы получим ряд общих границ для среднеквадратичного
отклонения несмещенного измерения и применим их в задаче оценивания
параметров среднего значения гауссовского состояния,
НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ДЛЯ ДИСПЕРСИИ
265
§ 2. Нижняя граница для дисперсии измерения
одномерного параметра
Пусть {Se} - семейство состояний, параметризованное одномерным параметром
6. Мы установим здесь общую границу для дисперсии несмещенного измерения,
которая является некоммутативным аналогом неравенства Рао - Крамера,
хорошо известного в математической статистике.
Относительно семейства {Se} мы предположим следующее:
1) Семейство {Se} сильно дифференцируемо по 0 как функция со значениями в
банаховом пространстве ядерных
операторов', обозначим Se производную семейства.
При этом условии для любой ограниченной наблюдаемой X
|E,m-Tr ±Se-X, (2.1)
где Ее (X) = Тг SeX - среднее значение X относительно состояния Se-
(Возможность дифференцирования под знаком следа вытекает из теоремы
II.7.2.)
2) Линейный функционал от X, определяемый формулой
(2.1), продолжается до непрерывного функционала на Х% (Se), т. е.
Tr^S,.X
;c-TrSeX2, Хе23д(о2Г),
где с - некоторая постоянная.
При этом предположении существует оператор Lq se е XI (Se) такой, что
JjSe = Se°Le = -2 (SeLe + LeSe). (2.2)
В самом деле, из 2) по лемме Рисса -Фреше следует,
что Tr^Se-X = (Le, X)s0 для всех ограниченных X, где
Le е Xfr(Se). В силу (II.8.5) это равносильно соотноше-
нию (2.2).
Оператор Lq называется симметричной логарифмической производной семейства
{Se}. Отметим, что
</, L9>Se = Tr|Se = |TrSe = 0. (2.3)
266
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
ГГЛ. VI
Рассмотрим измерение М (dB). Пусть р0 (dB) = = Тг SeM (dB) -
распределение вероятностей этого измерения относительно состояния <S0.
Предположим, что выполнены условия:
1) ^ В2рв (dB) < оо;
2) справедливо соотношение
de
рРвИ)= §e^>(dB), (2.4)
где - мера конечной вариации, определяемая формулой
¦^(Л) = Тг^56-М(5), Вее/(0). '
Предл ожение 2.1. При сформулированных предположениях имеет место
неравенство
D0 (М} De (L) [Jj Е0 {М} J, (2.5)
где D0 (•} - дисперсия относительно состояния 50. Доказательство.
Рассмотрим оператор
XM = yBM{dB)^n{SQ). (2.6)
В силу (II.9.8)
De(M}Ss<X^-Ee{M}, Хд,-Е0 (M}>s0.
По формуле Коши - Буняковского, учитывая (2.3), получаем
<Хд,-Ее{М}, Хд, -E6{M}>se-CU Le)se^
Ss (Хд, - Е0 {М}, Le>se = <Х*, Le>J0.
Так как интеграл (2.6) определяется как предел в J?%(Se) интегральных
сумм, то
(Хм, Lq)sq = ВМ (dB), Lq)sq =
= j 0 (М (db), Le>se = j 0 ^ (dB). (2.7)
9 3}
НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ДЛЯ ДИСПЕРСИИ
267
Воспользовавшись соотношением (2.4), получаем
L9)s9 = ~Ee{Mb
(2.8)
откуда и следует (2.5).
Для несмещенного измерения (2.5) переходит в
По существу, для доказательства (2.9) нужно лишь, чтобы выполнялось
Мы будем называть это свойство локальной несмещенностью в точке 0.
Следствие 2.1. Для любого семейства состояний {Se}, удовлетворяющего
условиям 1), 2), и любого локально несмещенного измерения с конечным
вторым моментом имеет место неравенство (2.9).
Условие (2.10) обычно гораздо легче проверить, чем (2.4).
Некоторое достаточное условие для (2.4) дает
Предложение 2.2. Пусть семейство (Se) сильно дифференцируемо в $4 ((ДбГ)
в некотором интервале значений 6, причем - Т =s:
Sq Т, где Т - ядерный оператор. Пусть измерение М таково,
ад
что ^ | 0 | j.i (Д0) < оо, где (х (Д0)= Тг ТМ (dd). Тогда имеет место
соотношение (2.4).
Доказательство. По формуле конечных приращений
D9{M}^De(Le)-i.
(2.9)
j 0^L(d0) = l или <ХЛ, Le>s6=l. (2.10)
Ре+де (5)i^e(S) d
~ йв ^e+ЛДв - Tr jg S0+AA0 ' M №), о < Л < 1,
d d
AS de
откуда
)*0+Д0 ^0 (В)
*?ТгГЛ4(В) = р(В), Вева^(в),
да
268
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
С другой стороны,
да Г 1 ^6+Ae
Liebc
(<")-
j ёре (d0)
|0|>С
|е г>
е^Ые)
= 2, J
| § I > с
0 I р (dQ).
Таким образом, левая часть стремится к нулю при с-по Да, что и доказывает
наше предложение.
-с" равномерно
В заключение рассмотрим пример оценивания параметра Q в семействе
гауссовских квазиклассических состояний (V.5.2) (параметр Р может при
этом иметь любое фиксированное значение). В силу предложения V.6.1 это
семейство удовлетворяет условиям 1), 2). Из (V.6.10) получаем
симметричную логарифмическую производную
L5 = oq2 (Q-Q),
так что D^(L^) = ctq2. Неравенство (2.9) дает следующую границу для
дисперсии локально несмещенного измерения:
D s {Ж}:
(2.11)
Эта граница, очевидно, достигается для любого значения Q на простом
