Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
1 ь У
Применение преобразования Вейля позволяет наиболее выпукло выявить
аналогии и различия между классической и квантовыми механиками (см.
Широков [137]).
§ 4. Характеристическая функция состояния была введена (для полей)
Сигалом [90], который обобщил частную конструкцию Мой-эла [70].
§ 5. Общее определение гауссовского состояния (для полей) было дано
Манюсо и Вербером [69]. В теории поля такие состояния называются квази-
или обобщенно свободными. В квантовой статистике имеет место
некоммутативный аналог центральной предельной теоремы, в котором роль
предельных законов играют гауссовские состояния (см. Кашен и Хадсон
[47]).
Доказательство упомянутого результата Шура см. в задачнике Полна и Сегё
[81], отд. VII, задача 36.
§ 6. Характеристическое свойство гауссовских состояний установи лено
автором [121], [123].
Глава VI
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
§ I. Квантовый канал связи
Рассмотрим идеализированную схему передачи сообщений, изображенную на
рис. 14. В отсутствие сигнала носитель информации (например,
электромагнитное поле) находится в некотором состоянии 5. Обычно
принимается, что S- равновесное (гиббсовское) состояние при данной
температуре. Передача сигнала осуществляется воздействием источника
сообщений на систему
Яосше/а информсгцт Приемнт
Г в /* Ss я
(ктел)
Рис. 14.
что приводит к изменению ее состояния. Если имеется возможность
варьировать какой-либо параметр (совокупность параметров) источника то
результирующее состояние носителя информации Сбудет функцией S0 этого
параметра 0.
Если носитель информации описывается классически, то его состояния суть
распределения вероятностей P0(dco) на фазовом пространстве ?2 системы ??.
Подобные каналы связи рассматриваются в классической теории информации.
Если же носитель информации является квантовомеханической системой, то
его состояния описываются операторами плотности S0 в соответствующем
гильбертовом пространстве и тогда говорят о квантовом канале связи. С
созданием источников когерентного излучения - лазеров - появилась
принципиальная возможность создания систем связи, работающих в оптическом
диапазоне. Если в радиотехническом диапазоне частот "энергия фотона" йсо
пренебрежимо меньше средней тепло-
КВАНТОВЫЙ КАНАЛ СВЯЗИ
263
вой энергии kT и поле излучения может описываться классически, то в
оптическом диапазоне квартовые эффекты приобретают значительную роль и
последовательное описание носителя информации - поля излучения-требует
привлечения квантовой теории. Принимая упрощенное описание поля как
конечного набора квантовых осцилляторов (что обычно оправдано в
рассматриваемых вопросах), мы видим, что в отсутствие сигнала поле
описывается гауссовским состоянием (V.1.7) с нулевым средним значением, а
воздействие источника отражается в появлении ненулевого среднего о,
которое играет роль передаваемого сигнала. Это является квантовым
аналогом широко используемой в теории информации модели сигнала на фоне
аддитивного гауссовского шума.
Заключительным звеном в системе связи является приемник е^, назначением
которого является получение оценки 0 истинного значения сигнала 0, по
наблюдениям за системой ??. Отвлекаясь от подробностей реализации
процедуры оценки, можно сказать, что приемник осуществляет некоторое
измерение параметра 0 в семействе состояний Sq. Весьма важным является
вопрос о наилучшем возможном способе приема, т. е. об оптимальном в
каком-то смысле измерении параметра 0, а также о принципиальных границах
точности его измерения.
В гл. IV мы рассмотрели аналогичные вопросы для кинематических параметров
ковариантных семейств квантовых состояний, используя байесовский и
минимаксный критерии оптимальности. Здесь мы рассмотрим иной подход,
основанный на понятии несмещенности. Этот подход не предполагает
существования априорного распределения у параметра 0 и годится для
семейств состояний, не обладающих какой-либо симметрией.
Пусть {So}-семейство квантовых состояний, где 0 = = [01, ..., 0"]
пробегает некоторую область 0 с: Rrt, и М (^0Х... d%n) - измерение со
значениями в 0. Измерение называется несмещенным, если
0ypt3 (^01... ^§") = 0/, 0 = [0lt .... 0"]е;0,
где р.о - распределение вероятностей измерения относительно состояния Sq:
р,о (В) = Тг SgM (В), (0).
264
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
Это означает, что измерение не имеет систематической погрешности. В этой
главе мы будем рассматривать в основном несмещенные измерения.
Мы будем всегда предполагать, что вторые моменты измерения конечны, т. е.
^ 6/щ (dQl... dbn) <00, 0е0.
В качестве функции отклонения будет использоваться квадратичная форма
^ (0) = 1>/а(0/-0/) (0* - в*),
/.*
где О = [g/*] - некоторая вещественная невырожденная положительно
определенная весовая матрица. Точность измерения будет определяться
полным среднеквадратичным отклонением
S8{M} = $НМ0)ц* (d"6)
(где dn0 то же самое, что dbl...ddn). Подчеркнем, что для многомерного
параметра определение среднеквадратичного отклонения существенно зависит
