Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 83

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 103 >> Следующая

функция состояния принимает вид
Заметим, что если мы с самого начала исходим из коммутационных
соотношений для данного набора канонических наблюдаемых Pk, Qk, то новые
канонические наблюдаемые Р), Q), в которых характеристическая функция
гауссовского состояния имеет простейшую форму (5.8), вообще говоря, не
совпадают с исходными и получаются из них линейным каноническим (т. е.
сохраняющим коммутационные соотношения) преобразованием. Так, например,
чтобы привести к виду (5.8) характеристическую функцию (5.4) состояния
набора осцилляторов, необходимо произвести каноническое преобразование лу
будет иметь вид (5.8), где as = аР]ог^ - Nj + 1/2. В общем случае
преобразование к новым переменным будет более сложным.
Тот факт, что характеристическая функция (5.5) разбивается на
произведение сомножителей, отвечающих коммутирующим парам новых
канонических наблюдаемых {P'f, Q/}, означает, что пространство
представления еЖ можно представить в виде тензорного произведения
aj = d,l^Y.
Так как
a (z, г)= 2 а/(*/ + !//)>
| | exp I (P/Xj + Q/yj) - Ц- (xj (5.8)
/
Здесь P/ = ESm (Р)), <3/ = ESm(Q/), aj = DSm (Q/) = DS/n {P'j), где P'/ =
R (ej), Q'j = R(hj).
-J/ -Pjy Q'j = у этих канонических наблюдаемых
характеристическая функция Tr S exp i ?У'1 (P'/Xj + Q'yj)J
ЖЯГ),
(5.9)
*5]
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
255
где "^/ - пространство, в котором неприводимо действуют операторы V/ (х/,
уу) = expi (Pjxj + Q/#/), так что состояние S представляется в виде
(g)S'h i
где S'/ - гауссовские состояния в пространствах <ЗТ/ с
характеристическими функциями простейшего вида
ехр
(Pfa + QM-tLW + y))].
Еще раз подчеркнем, что разложение (5.9) определяется самим гауссовским
состоянием и не обязано совпадать с разложением, порождаемым исходными
каноническими наблюдаемыми.
Найдем собственные значения оператора Sm. Учитывая соотношение (5.6),
достаточно ограничиться случаем нулевого среднего, так как преобразование
(5.6) не изменяет собственных значений. Согласно (1.4), состояние S0i0
для /-й степени свободы имеет собственные значения вида
1 / ^т-Г. и==0' 1' •••* (бл°)
N/+1 \ N/+1
где N/ = Opj<jQ? - 1/2 = О/ - 1/2. Тензорное произведение таких состоянии
будет иметь в качестве собственных чисел всевозможные произведения вида
П
/=1 N/+ 1 \ N/+ 1
Л.
п/ - 0, 1, ...
В частности, максимальное собственное значение равно
S S
ттш-17 -¦-.
u",+l JL1 ",+1/2
Состояние является чистым тогда и только тогда, когда это произведение
равно единице. Так как О/^г 1/2, то это выполняется только, если все щ =
1/2 или
256
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ V
§ 6. Характеристическое свойство гауссовских состояний
Пусть г -v V (г) - неприводимое представление канонического
коммутационного соотношения в пространстве и 5 -состояние в . Рассмотрим
гильбертово пространство X2 (S), ассоциированное с состоянием S.
Лемма 6.1. Система {V (г); zeZ) замкнута в X2(S). Доказательство. Пусть
X^X2(S) таков, что
(У(г), X>s = 0,zeZ. (6.1)
Так как X2 (S) является комплексификацией вещественного пространства
X^(S), то X - Xx + iX2, где Xj е ^X%(S). В силу предложения 11.8.1,
операторы X,-]AS и SXj = (Xj ]AS)* являются операторами Гильберта -
Шмидта. Поэтому S • X = S • Х\ + i S - Х2 является ядерным оператором и
(6.1) можно записать в виде
Тг V (г) (S. X) = 0, zeZ.
Таким образом, <XZ[S' Х] = 0; по формуле обращения (3.7) имеем S'X = 0.
Поэтому для любого ограниченного У, согласно формуле (II.8.5),
(У, Х>5 = Тг У* (5-Х) = 0,
так что Х = 0 в X2(S).
Если состояние S имеет конечные вторые моменты, то R (z) е X2 (S) для
всех zeZ. Обозначим через 91 подпространство X\(S), порождаемое
операторами вида
c + /?(z); ceIR, zeZ.
Если 910 - одномерное подпространство 91, натянутое на единичный
оператор, то Э1 = ЗЧ0(c)34i, где 91х - пространство операторов вида
R(z)-m (z), zeZ,
где т (г) - среднее значение состояния. Это видно из того, что (R (z) -
m(z), 1>с = т iz) - m(z) = 0. В силу (4.9) отображение
z-+R{z)-m{z) (6.2)
является изометрией евклидова пространства (Z, а) на подпространство 91 х
cz Х% (S).
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО
257
Обозначим через 2, ограничение коммутационного оператора 2 состояния S,
определяемого формулой (II. 10.4), на подпространство 911( так что
[Y, Х]5 = (Г, 21x>s; X, К е К,.
Учитывая определение (2.7) оператора перепишем (4.12) в виде
a(z, &z') = (R(z) - m,(z), 2) (R (г') - tn (z')))s; z,z'<=Z.
Это означает, что при изометрии (6.2) оператор ?& переходит в т. е.
R(&z)-m(&z) = '&l(R(z)-m(z)). (6.3)
Теорема 6.1. Состояние S с конечными вторыми моментами является
гауссовским тогда и только тогда, когда подпространство 91 (или 91г)
является инвариантным подпространством коммутационного оператора 2.
Доказательство. Заметим, что 2 (910) = [0] в силу
(11.10.6); поэтому инвариантность подпространства 91! эквивалентна
инвариантности 91.
Пусть S - гауссовское состояние. Мы покажем, что 2 = 2, на 91 и, таким
образом, 912 является инвариантным подпространством оператора 2. Согласно
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed