Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 4.2. Если S - оператор плотности состояния с конечными вторыми
моментами, то
<Г. [SR (z,)] = [-1Д (г, г,) - ZV"] "Г, Д],
^[/г (Zi) S] - [- | А (г, irj - iV,.] "Г, [5],
^.[S-flfe)]---------------------------(4.15)
S]]==A(г, ^.[S], (4.16)
г<?е V2i - производная no направлению г±: V2laT (г) =
=* -ft- & (2 + ^2i) |/-o-
Доказательство. Так как i?(zj ei?8(S), to no предложению 11.8.1 операторы
SR(zj), ... в левой части доказываемых равенств являются ядерными и имеют
квад-ратично-интегрируемые преобразования а^'*[57?(г1)], ... Достаточно
проверить первую формулу. Имеем
<Гм [SR (гг)] = Tr (SR (г,)) V (г) -(К (-г), R (г^ъ. Согласно (4.11)
[SR (гу)] = г1 ? (~ г), V (tZl))s |,_0 =
= r^TrSV(tZl)V(?)
Используя каноническое коммутационное соотношение, получаем
[SR (z,)] = Н 4 *FZ+,г, [5] е * ^,
что и требовалось.
Было бы нетрудно распространить эти формулы на более широкий класс
операторов S, однако это нам не понадобится,
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
251
§ 5. Гауссовские состояния
Найдем характеристическую функцию квазиклассиче-ского состояния (1.2).
Учитывая формулу (3.11), получаем
^ х, у [S] =
" ехР [ " Т (I" ** + Т i/2)] j exp [i (Px + Qy)] ц (dP dQ) =
h/0(^, y)- fl(x, y), (5.1)
где <F0{x, у) - квантовая характеристическая функция основного состояния
10) (01, а р. (jc, у) - классическая характеристическая функция
распределения вероятностей р.
Рассмотрим гауссовское квазиклассическое состояние (1.7). Перейдем к
вещественным переменным, полагая я. cjB + ifta " <?>Q-\-i1iP
? = '_-, й = -7=^-, и запишем его оператор плетут 2ЙС0 К2ЙС0 '
ности в виде
P'Q 2я N
X
^ |а, Р)(Р> "I X еХР{~2^[ш(а_;5)2+^" (Р-^)2]}^^- М
Характеристическая функция входящего сюда гауссор-ского распределения
имеет известный вид ji (х, у) **
= exp i (Px + Qy) - у y х2 + N ~ у2^ , так что согласно (5.1)
<?Х. У [Sp, ё] = exp [i (Px + Ру)-~ (орх2 + a5i/2)J, (б.З) где
ст^=т(^+т)- ст" = 1(^+т)*
поэтому N = 0P0q- 1/2.
В случае нескольких степеней свободы характеристическая функция состояния
(1.8) будет, очевидно, произведением сомножителей типа (5.2):
П exp [i (Ркхк + Qkyk) - 2 (ofoxl + O&yl)J. (5.4)
252
ГАУССОВСКИЕ состояния
(ГЛ. V
Мы видим, что характеристическая функция квантового состояния (5.2) имеет
ту же аналитическую форму, что и характеристическая функция классического
гауссовского распределения (хотя дисперсии op, oq уже не произвольные
числа, а подчинены соотношению неопределенностей
Основываясь на этой аналогии, введем следующее общее определение. Пусть
z->- V (г) - неприводимое представление канонического коммутационного
соотношения на симплектическом пространстве (Z, А). Состояние 5 в
пространстве представления в%' назовем гауссовским, если оно имеет
характеристическую функцию вида
где т (г) - линейная форма, а (г, г')- билинейная симметричная форма на
Z. Функция (5.5) бесконечно дифференцируема, и поэтому все моменты
гауссовского состояния конечны. Из (4.7), (4.8) следует, что т(г)
совпадает со средним значением, а а (г, г') -с корреляционной функцией
состояния.
Теорема 5.1. Для того чтобы функция вида (5.5) была характеристической
функцией состояния, необходимо и достаточно, чтобы билинейная форма а (г,
г') удовлетворяла одному из эквивалентных соотношений (4.13), (4.14).
Доказательство. Необходимость вытекает из того, что а является
корреляционной функцией состояния. Для доказательства достаточности нужно
лишь проверить Д-положительную определенность функции (5.5):
opOq^z 1/4).
of,[5] = exp [im(z) - |а(г, г) , (5.5)
2 cjCk exp [im (zj) - im (zk) -{ot (zj-zk, zj- zh) +
Полагая
перепишем это
в виде
2М*ехР ["(*/, zh) + ^A(zj, z*)jss0.
"8]
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
253
Заметим, что матрица
]a(zh zk)+~A(zj, zk)j
положительно определена; остается сослаться на один результат Шура,
утверждающий, что положительная определенность матрицы [а;4] влечет
положительную определенность матрицы [ехр а)к\.
Обозначим гауссовское состояние со средним т (г) и корреляционной
функцией а (z, г') через Sm и покажем, что Sm можно рассматривать как
результат "воздействия" на состояние S = S0, описываемого некоторым
унитарным "оператором сдвига". Так как форма А невырождена, то существует
вектор тА е Z такой, что
m(z) = A(mA, г), zeZ.
Покажем, что
Sm = V (тА)* SV (тА).
Для этого достаточно проверить, что характеристическая функция состояния
в правой части совпадает с характе-
ристической функцией состояния Sm. Используя свойство
3) преобразования (см. § 3), имеем
[V (т&)* SV (тд)] = J, [S] Jж [Sm],
что и требовалось.
Определим вектор ma^Z соотношением
m(z)=a(ma, z), ?eZ.
Тогда та = - &тА, где ^ - оператор, определяемый
соотношением (2.7), так что
Sm = y (^ та) SV (6.6)
Условия (4.13) на форму а налагают определенное
ограничение на оператор . Полагая в (4.13) =
= - у ?9z, получаем
1+ о в (Z, а). (6.7)
254
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. V
Пусть {в/, hj} - симплектический базис, в котором S' имеет матрицу (2.7).
Тогда из (5.7) получаем
где \х], г/у] - координаты вектора z в этом базисе, то характеристическая
