Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
и непрерывность вытекает из непрерывности функции аГ (г). Отметим еще,
что
По теореме 3.1 построенное представление унитарно эквивалентно прямой
дискретной сумме копий некоторого неприводимого представления z-> V (z) в
пространстве эЗГ:
Оператор U изометрически отображает е?Г на ъйГ(r)s7?(c) ... Положим
Таким образом, S -оператор плотности. Из (4.5) и (4.6) получаем
так что aF (z) является характеристической функцией S. Теорема доказана.
Отметим интересный факт, не имеющий аналога в классической теории
вероятностей. Так как всякий оператор плотности является оператором
Гильберта- Шмидта, то по теореме 3.2 eF (z) квадратично-интегрируема. В
сочетании с доказанной теоремой это означает, что непрерыв-
(l|t>(z)lb"F(z).
(4.5)
-V (г)
V (г) = и-'
0
U1 = Ф1(r) фаФ • • •
(4.6)
и 5 = 2 1Чу) (Фу I- Очевидно, что S>0 и
/
/
"F (z) = (\\V (г) О = Ц (% | К (z) %) = Тг 5К (г),
I
S 41 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ'ФУНКЦИЯ СОСТОЯНИЯ 247
ность и Д-положительная определенность функции (r)F(z) влекут квадратичную
интегрируемость. Заметим, что если сразу наложить условие квадратичной
интегрируемости, то доказательство теоремы 4.1 значительно упрощается.
Пользуясь теоремой 3.2, введем оператор Гильберта - Шмидта S = r (aF). Из
условий 1), 2) вытекает, что Ss^O и Тг5=1, т. е. S - оператор плотности,
и по формуле обращения aF(z) = eF,[S].
В теории вероятностей известны соотношения, связывающие моменты
распределения с производными его характеристической функции. Аналогичные
соотношения имеют место и здесь. Пусть
R(z) - ^ ХЕг (dk)
- спектральное разложение самосопряженного оператора R(z). Рассмотрим
распределение вероятностей на прямой
р,|(В) = Тг5?.г (В); Bes^(R).
Функция аТtz [5], - оо < / < оо, является классической характеристической
функцией распределения p,s(dX), так как
Г и [5] = Тг Se"R (z) = $ еи\% (dX).
Предположим, что rt-й абсолютный момент распределения конечен; тогда, как
известно из теории вероятностей, aFiz [S] п раз дифференцируема и п-й
момент распределения вероятностей р,| равен
тп (z) = i~n fu [5] 1/-о- (4-7)
Если п четно, то, обратно, из существования производной /i-го порядка в
нуле следует конечность л-го момента.
Из (4.7) видно, что тп (z) является однородным полиномом от z степени л.
Для нас наибольший интерес представляет среднее значение
т1 (г) в т (z) = Es (R (г)),
которое является линейной функцией от г, и второй момент m2(z), который
является квадратичной формой от г. Вводя
248
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. V,
симметричную билинейную форму
д1
(г, 2) = 5/ ds ^ iz+sz' 1-^1
определим корреляционную функцию состояния формулой а (г, г') = т2 (г,
г') - т (г) т (г'), (4.8)
так что
а (г, г) = т2 (г) - т (г)2 = Ds (Л (г)).
Рассмотрим гильбертово пространство квадратично-суммируемых операторов
(S) (см. § II.8). Так как Щ (г) - $ (dX), то, согласно (II.9.9), т2
(г) < оо тогда
и только тогда, когда R (z) е X"1 (S). Мы скажем, что S - состояние с
конечными вторыми моментами, если т2 (г) < оо для всех zeZ. Для такого
состояния, согласно
(11.9.1), (II.9.2),
т(г) = </, R(z))s, m2(z, z') = (R(z), R(z'))s.
Корреляционная функция записывается в виде
сс (г, z') = (/? (2) т (2), Д(г') -m(2')>s. (4.9)
где для краткости полагается т(г)-/==т(г).
Установим строгую версию соотношения (2.5):
[Л (г), /?(г')Ь = А(?, г'); г, 2'eZ. (4.10)
Для этого нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 4.1. Пусть М (dX) - измерение с конечными вторыми моментами
относительно состояния S и Хм = = § ХМ (dX). Рассмотрим семейство
ограниченных операторов
Vt = \eiaM{dX).
Тогда = Vt\t-o в смысле сходимости в (S). Доказательство. Нужно показать,
что
¦V'u ]-->-Хм в j6±{S) при /->-0.
§ 4] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СОСТОЯНИЯ 249
В силу неравенства (II.9.7) для этого достаточно установить, что
в
Очевидно, что имеет место поточечная сходимость; кроме того,
gilt - 1
I eiU - 1 так как -т,-
it
sin Xti2 I
;4A2,
l. Так как ^ A.2pis (cfA)
</2
то по теореме Лебега о мажорированной сходимости
gilt _ 1 .
ps(dA)->-0 при /->-0,
< оо,
I-
что и требовалось установить.
Из этой леммы вытекает, что если m2 (z) < оо, то
R(z) = i-i-±-V {tz)U в &±(S). (4.11)
Беря след обеих частей равенства (2.4) с оператором плотности S и
учитывая, что У(г)* = У(-г), получаем
<V(-tz), V (sz'))s = eltsA (Zi г,) (V (-/г), V(sz')>?.
Отсюда, в силу (4.11),
- (R (z), R (z'))s = t'A (z, z') - (R (z), R(z'))t
Учитывая (II.8.13), получаем (4.10). Принимая во внимание (II.8.9), можно
также написать
A (z, z') = [R(z) - m(z), R (z') - т (z')]s. (4.12)
Из формул (4.9), (4.12) и предложения II.9.1 вытекает, что корреляционная
функция состояния с конечными вторыми моментами удовлетворяет
эквивалентным неравенствам
а (г, г) а (z', z')3s-^A(z, г')2, ^ ^
а (z, z) + а (г', г')ЗгА(г, г').
Первое из этих неравенств есть, конечно, соотношение реопределенностей
для наблюдаемых R(z), R(z').
250
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. V
Кроме того, для любых Zj е Z
[сс(zj, zk)zt^k(zJt zk)jssO. (4.14)
