Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Для иллюстрации рассмотрим представление Шредингера в случае s = l.
Установим формулу для ядра оператора Гильберта - Шмидта Т в $52(-оо, оо):
(6 IТI Г) = (2л)-15 _J,. V[T]Г* (1 + П*dy, (3.9)
где
^.ЛЛ = Тг7Т(*, y) = TrTW-x,y/lx.
В самом деле, для любых ф, ip е аУГ из (III.5.1)
(Ф\V(~x, -0)ф = $(ф|$)*"''(1"'*)-(?-*|1р)<*?, (3.10)
поэтому в силу (3.8)
И(ф|1) (Е1Л6') (6'1 V)dldl' =
- (2я)-1 [Т] (ф 11) Гty (I - х I ip) dx dy dl
причем все функции квадратично-интегрируемы, так что возможна замена
порядка интегрирования. Полагая = = § - х и пользуясь пр&изволом в выборе
ф и ф, получаем (3.9). Аналогично, используя (3.4), (II.7.16), можно
получить, что
S*.y[T\=l(l + x\T |Е) ey(l + t)dl
i 41 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ функция состояния 243
Исключая из подобных соотношений аFz [Г], можно получать связи между
ядрами оператора Т в различных представлениях.
Используя эту формулу и соотношение (III.6.3), получаем для оператора
плотности состояния минимальной неопределенности (1.1):
fx.y[\P, Q)(Q, Р |] =
= ехр
i(Xp + yQ)-\(±x*+%y>) . (3.11)
§ 4. Характеристическая функция состояния.
Моменты
Рассмотрим преобразование <FZ[T] для эрмитова ядер-ного оператора Т. Если
Т 5=0, то FZ[T] обладает следующим свойством А-положительной
определенности: для любого п, любых гх, ..., z"eZ и сх, ..., с"е(С
П
2 z*)SsO. (4.1)
/.*-i
В самом деле, в силу (2.1) и (3.4) эта сумма есть не что иное, как Тг Г
(zy)j> чт0> очевидно,
всегда неотрицательно.
Преобразование aFz[S] оператора плотности 5 назовем характеристической
функцией S по аналогии с характеристическими функциями распределений
вероятностей. Следующая теорема является некоммутативным аналогом
известной теоремы Бохнера - Хинчина.
Теорема 4.1. Для того чтобы функция F(г) была характеристической функцией
квантового состояния, необходимо и достаточно выполнение условий:
1) aF (0) = 1, of (z) непрерывна в нуле;
2) F (z) является А-положительно определенной. Доказательство. Пусть 5 -
оператор плотности;
тогда <Fо [5] = Тг 5 = 1 ; условие 2) следует из положительности S. Для
доказательства непрерывности заметим, что
"^*[5] = 2 sj (е, | V (г) еД,
I
где Sj - собственные значения, ^-собственные векторы
244
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
1ГЛ. V
оператора S. В силу непрерывности представления z-*~V (z) каждое
слагаемое ряда является непрерывной функцией по z; кроме того, ряд
сходится равномерно по признаку Вейерштрасса, так как |(et | V (z) е/)\ С
1 и Sj < оо. Таким
образом, aF,[S] непрерывна при всех zeZ.
Докажем достаточность. Прежде всего покажем, что непрерывность в нуле и
Д-положительная определенность влекут равномерную непрерывность функции
aF (z) при всех z (аналогичный факт имеет место в теории вероятностей для
характеристических функций). Для этого рассмотрим условие (4.1) для /1 =
3 и значений г, равных О, zv z2. Тогда условие (4.1) означает
положительную определенность эрмитовой формы от переменных cv сг, с3 с
матрицей
/
?F (- zt)
F(-z2)
•F (Zi) 1
"г ^ VЛ (Zs- Zi)
-F (z2) F (z2 - Zi) e
F (Zj - z2)e
По критерию Сильвестра получаем
1 - aF(Zj) aF(- Z^SsO,
1 + 2 ReaF.(zx) aF (z2) aF (z2 - zt) e2
A (z,, z2)
-|aF(z2) 12-!aF(z1)
'2
aF (Z2 - Zj) |2 5* 0.
Из первого неравенства следует, что
aF(- z) = aF(z)
(4.2)
(4.3)
и
|F(z) |*<1.
Преобразуя второе неравенство, получаем
I aF (Z2)-aF (Zl) J2< 1 - I aF (z2 - 2X) |2 -
- 2 Re aF (Zj) aF (z2) [ 1 - aF (z2 - zt) e'* *<*,> *0].
-5- А (г., Zi)
Учитывая (4.2), (4,3), находим окончательно
|aF(z2)-aF(z1)|2^4 1 -вГ(г1-г1)в*А<*,,") ,
откуда и следует высказанное утверждение.
$ 4) ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СОСТОЯНИЯ 245
Мы построим некоторое гильбертово пространство и состояние в нем, для
которого "F (г) является характеристической функцией. Рассмотрим оператор
У0(г), действующий на функцию ф (до), до е Z, по формуле
У0(г)ф(до) = ехр[-уА(г, до)]ф(г + до).
Непосредственно проверяется, что операторы (У0(г); zeZ} удовлетворяют
каноническому коммутационному соотношению (2.1). Теперь мы выделим такое
гильбертово пространство &%Г, в котором операторы V0 (г) унитарны.
Рассмотрим линейное пространство оЖа функций вида
ф(до) =
]^CkV (zk) 1 (до) = 2с*ехр["ТЛ(г*> "')]•
где 1 (до)- функция, тождественно равная единице. Введем в 0
полуторалинейную форму
(ф(1> | ф<*>) = ^ cfc? аГ {гГ - 41') ехр Л (г'?, ztf')],
i.k
если ф(а) = с/а>^ (2/a))J I' а=Ь 2. В силу Д-поло?
тельной определенности
(ф[ф) S30, фе 0.
Кроме того, непосредственно проверяется, что
(^0 (2) Ф11 v0 (z) Фа) = (ф! I Фа), ф!, фге^0, (4.4)
для любого zeZ.
Обозначим через оЙГ пополнение фактор-пространства гДе (r)^" = {ф: (Ф | Ф)
= 0}. В силу (4.4) операторы V0 (г) продолжаются до унитарных операторов
V (г) в е5г . Таким образом, г->-У(г) является проективным унитарным
представлением канонического коммутационного соотношения в оЖ. Установим
его непрерывность.
246
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. V
Для этого достаточно проверить непрерывность функ-
ций (фШ | V (•) - (^" | когда ф(а) пробегают
