Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 79

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 103 >> Следующая

изложенную выше конструкцию к каждому из подпространств /, мы получили бы
в каждом
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
239
из них проектор Р/=?=0, причем Р = Р1фРй> Так что dim <JL > 1.
Заметим теперь, что Р действует как оператор ранга 1
В аМа\
PV (z)ea = PV (г) Реа = /" (г) еа\
Рф = с (ф) еа, ф <=
поэтому {V (г)} действует неприводимо в <Ма. Имеем =* - (c)°^aj (c) "5Г,. где
- ортогональное дополнение
суммы 2(c)(r)^" в ^• Так как 2(c)(r)^" инвариантно, а а,
то также инвариантно относительно {V (г)}; кроме
того, РяЖй = 0. Отсюда следует, что а5Го = [0], так как, применяя всю
конструкцию к {V (г)}, действующему в е^о, мы получили бы Р = 0 в
противоречие с тем, что /о^О.
Это доказывает, что всякое представление разлагается в прямую
ортогональную сумму неприводимых представлений, действующих в
пространствах а^а.
Пусть г -+- Vj (г) - неприводимые представления в пространствах е2Г/•, /'
= 1, 2. Операторы Pt = Vj(fQ) являются одномерными проекторами на векторы
ef е ,, причем sЖj = [V (z)ef\ Определим оператор U из е/Г2 в <2%^,
полагая UV2 (z) е% = Vx (z) ev Оператор U отображает плотное множество в
на плотное множество в сохраняя скалярное произведение, так как по
формуле (3.3)
(Ух (г) ег | Vj (w) ех) - exp [(c) Д (w, z)] f0 (z - w) =
- (V, (z)e2|K, (w)et).
Следовательно, он продолжается до изометр ичного оператора из на По
построению
U*V1(z) U = V2(z), zeZ.
Теорема доказана.
Ограничимся теперь неприводимыми представлениями. Сформулируем
многомерную версию предложения II 1.6.1, которая доказывается совершенно
аналогично.
Предложение 3.1. Пусть zV (z) - неприводимое представление канонического
коммутационного соотноше-
240
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. V
ния (2.1) в пространстве Ж. Матричные элементы (ф | V (г) ф) являются
квадратично-интегрируемыми функциями от г. Если \в]} - ортонормированием
базис в Ж,
то функции jipLr (еу | V (г) е*)| образуют ортонормирован-
ный базис в пространстве X2 (Z) комплексных квадратично-интегрируемых
функций от г.
Пусть Т - ядерный оператор в пространстве представления. Сопоставим ему
функцию
^я[Т] = ТтТУ(г), zeZ. (3.4)
Как мы увидим, отображение Т-*-Хг[Т\ является своеобразным
"некоммутативным" аналогом преобразования Фурье, обратным к
преобразованию Вейля (3.1).
Следующие свойства непосредственно вытекают из общих свойств следа и
канонического коммутационного соотношения-.
1) •ГоР'НТгТ, loFJTJI^IITIb
2) Sg[T*)-f-t[n
3) f.[TV(w)]-'F,Hu[T] ?&iZ W),
"Г, [V (w)* TV (о")] - аГг [Т] ¦ е'* <*.
Имеет место "формула Парсеваля".
Теорема 3.2. Соответствие Т Хг[Т] продолжается до изометрического
отображения пространства операторов Гильберта - Шмидта §2 (Ж) на
пространство X* (Z), так что
Тг ПТ% - {2n)~s 5 Т^Т\] X, rT2] d2sz. (3.5)
Доказательство. Если мы докажем, что для эрмитова ядерного оператора Т
выполняется
Тг Т2 = (2я)--г$ | "f, [Т] |2 d^z,
то формула (3.5) для ядерных операторов получится отсюда по линейности.
Имеем
T = ?tj\ej)(ej\,
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
241
где !//!<; со и {| ef)} - ортонормированный базис из /'
собственных векторов оператора Т, причем ряд сходится в смысле нормы
ядерных операторов. Отсюда
(3-6)
/
Используя предложение 3.1, получаем, что функциональный ряд (3.6)
сходится в среднеквадратичном в X2 (Z) и
(2я)- \\^[T] 12 d2*z = Z t) I (е, I */) I2 = Тг Т2.
/
Таким образом, соответствие Г-^аГг[Г] изометрично отображает множество
ядерных операторов, как подпространство гильбертова пространства ^(е/Г),
в гильбертово пространство X2 (Z). Так как функции J~z[\ ej) (ek j] = =
{ek | V (z) ej), согласно предложению 3.1, являются базисными в X2 (Z),
то образ этого отображения содержит плотное множество. Поэтому
соответствие Т -> о?z [Т] продолжается по непрерывности до изометричного
отображения на X2{Z).
Следствие 3.1. Состояние S является чистым тогда и только тогда, когда
Доказательство. По теореме 3.2
(2я)-* $ | aF* [S] |2 d2sz - Тг S2 = ? s%
/
где Sy - собственные значения оператора плотности. Но ¦V^sO, ^5/ = 1,
откуда следует, что причем
/ / равенство достигается тогда и только тогда, когда одно из S/ равно
единице, а остальные -нули. Это означает, что S -одномерный проектор, т.
е. оператор плотности чистого состояния.
Следствие 3.2 (формула обращения). Для любого оператора Гильберта -Шмидта
Т
Т - (2я)-* $ "Г, [Т] V (- z) d2sz, (3.7)
где интеграл сходится в слабом смысле.
242
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. V
Доказательство. Полагая э (3.5) 7\ =" | <р) (ip | и учитывая, что (ip | V
(г) ф) = (ф | V (z)* ip) =* (ф J V (- г) ip), получаем
(2я)-*$ "ГДГ] (Ф | У (- г) ip) d"z -
=¦ Тг | \р) (ф 171 = (ф j Tip), (3.8)
а это и означает выполнение (3.7) в смысле слабой сходимости.
Это следствие показывает, что преобразования Т -> (2) =аГг[7'] И f^>-T =
V(f) ЯВЛЯЮТСЯ ВЗЗИМНО обрат-ными, так что
T=v ("Г, [Г]).
В частности, соответствие Т <Уг [Г] является взаимнооднозначным. Из (3.7)
можно получить связь между ядром оператора. Т в любом неприводимом
представлении и функцией <FZ[T\.
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed