Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
2s. Для любого скалярного произведения а в (Z, А) существует
симплектический базис {ef, hf, /=1, ..., s}, в котором а имеет
диагональную матрицу вида
СЦ 0 0 ад 0 1 J
0 а3 0 1 0 а2!
S •
I
Переход от одного симплектического базиса к другому задается
симплектическим оператором Т. удовлетворяющим условию
A (Tz, Tz') = A(z, z'); г, г'е^- (2.9)
236
ГАУССОВСКИЕ состояния
[ГЛ. V
Для всякого симплектического оператора |detTj = l. В самом деле, пусть а
- произвольное скалярное произведение в Z; тогда (2.9) принимает вид
a (Tz, STz') = a(z, Шг')\ z, ?'eZ,
т. е. Т*&Т = где Т* - оператор, сопряженный к Т в евклидовом пространстве
(Z, а). Отсюда, учитывая, что det 7'* = det Т и detJ^^O, получаем (det
Т11 = 1. Таким образом, симплектические преобразования сохраняют меру
Лебега в симплектическом пространстве.
S
Пусть z - У (Xjej -f- yjhj)- разло-
/= 1
жение элемента z по симплектическо-му базису. Введем меру Лебега Z,
полагая
d2sz = dx± dyx... dxs dys
Из сказанного выше вытекает, что это определение не зависит от выбора
симплектического базиса в (Z, А).
Для иллюстрации рассмотрим простейший случай dimZ = 2 (одна степень
свободы). Пусть {е, h} - симплек-тический базис в (Z, А) и х, "/ -
координаты вектора г. Выберем на плоскости прямоугольную декартову
систему координат. Тогда базис {е, Щ изобразится в виде двух взаимно
перпендикулярных ортов (рис. 13), однако это отражает лишь произвол в
выборе системы координат и не соответствует каким-либо реальным свойствам
симплектического базиса (угол и длина в симплектическом пространстве не
определены). По существу это означает, что мы вводим в Z скалярное
произведение a (г, г') = = хх'-уу', связанное с данным базисом, как в
предложении 2.1. Другой базис {е\ h'} будет симплектическим тогда и
только тогда, когда Д(е', h') = 1. Из инвариантности определения элемента
меры Лебега в симплектическом базисе следует, что пара векторов {е', h'}
образует симплектический базис тогда и только тогда, когда построенный на
них ориентированный параллелограмм имеет площадь +1,
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
237
§ 3. Теорема единственности. Преобразование Вейля
Пусть z -> У (z) (непрерывное) представление канонического
коммутационного соотношения, f(z) - интегрируемая по мере Лебега
комплекснозначная функция на симплектическом пространстве (Z, Д).
Сопоставим ей ограниченный оператор в пространстве представления
У (/) = (2пу \f{z)V (-г) d"'z (3.1)
(нетрудно показать, что интеграл определен в смысле Бохнера).
Соответствие / -> У (/) называется преобразованием Вейля. Легко
проверяются следующие свойства:
1) У(/(г))* = У(Л=^);
2) V (Д) У (Д.) = V (А х/2), где
h х f% (г) = (2л)~* \ /х (w) /2 (г -w)ejA iw'г) d2sw;
3) V(f (г)) У И = У (/ (z +w) Д А("' zj,
V(w)*V(f (г)) У (w) = У (/ (z)) е1'л<"• *>.
Кроме того, соответствие /-> У (/) является взаимнооднозначным: У (/) = 0
влечет / = 0 почти всюду. В самом деле, из 3) получаем
§ eiA г)/ (z) (ф | У (-z)t|))dwz = 0; (r)eZ, ср, ifeeST,
откуда, в силу взаимной однозначности обычного преобразования Фурье, /
(г) (<р | У (- z) ф) == О и f (z) = 0 почти всюду.
Отсюда вытекает, что если г->Уу(г), / = 1, 2,-два представления
канонического коммутационного соотношения, то можно установить взаимно-
однозначное соответствие
VMfl-v2(/),
которое, в силу свойств 1), 2), сохраняет алгебраические операции и
эрмитово сопряжение. Фактически имеет место более сильное утверждение, а
именно теорема единственности Стоуна -фон Неймана для s степеней свободы.
Теорема 3.1. Всякие два неприводимых представления канонического
коммутационного соотношения унитарно
238
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. V
эквивалентны. Всякое (непрерывное) представление является дискретной
прямой суммой неприводимых представлений.
Доказательство. Введем скалярное произведение на Z
$
/(г, г')= ^ (XkXk + УкУк),
1
где \xk, уъ], \х'н, у'ь] - компоненты векторов г, г' в каком-rfn6o
симплектическом базисе, и рассмотрим функцию
Положим Я = К(/0). Так как /о>0, то РФ 0. Используя свойства 2), 3) и
учитывая, что d2sz =п dxk dyk,
k
после некоторых вычислений получаем важное равенство
PV (w) Р = f0 (w) Р. (3.2)
Отсюда Я2 = Я. Кроме того, из вещественности /0 и свойства 1) вытекает,
что Я*=Я. Таким образом, Р является ортогональным проектором на некоторое
подпространство <М пространства представления
Если ф, f Eti, то, используя (2.1), (3.2), получаем
(К (г) ф | V (w) ф) = (К (г) Яф | V (w) Яф) =
__ е2 А (Wt г) (ф | ру (щ, _ 2j />ф) _
= е2 Л("''г>/о(ш-г)(ф!ф). (3.3)
Пусть {еа\ - ортонормированный базис в <М. Тогда из
(3.3) вытекает, что подпространства a?a = \V (г)е"], порожденные
векторами вида V(z)ea\ zeZ, взаимно ортого-
нальны. По построению, <^а являются инвариантными подпространствами
представления z-*-V (г); поэтому, если представление неприводимо, то
dima^ - 1. Верно и обратное-если представление z-*-V (z) приводимо, то
dima^> >1. В самом деле, пусть (r) - разложение
пространства представления на инвариантные подпространства. Применяя
