Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 9.2. Для любой вещественной / <= <= X2 (ps) интеграл (9.4)
определен как предел последовательности {J fnM (dx)}, где {/"} - любая
последовательность простых функций, сходящаяся к f в X2 (ps). Для любой
f<=X2(ps) имеет место неравенство (9.6).
Если в качестве / брать комплексные функции, то <)f(x)M(dx) будет уже
элементом пространств X2 (5), Х%. (5), а неравенство (9.6) заменится на
(\f(x)M(dx), \f(x)M(dx))±^\\f(x)l2ps(dx). (9.7)
Отметим также формулу
\f(x)ns(dx) = (\, \f(x)M(dx))s,
которая очевидна для простых / и получается стандартным предельным
переходом для f ^ X2 (ps). В частности, полагая f(x) = x, получаем аналог
формулы (9.1):
Es {М} = <1, Xm)s-
Полагая в (9.5) f(x) = х - Es {М}, получаем неравенство
Ds{M}^<X^-Es{M}, Хм- Es{M})s- (9.8)
Согласно (9.2), равенство здесь имеет место, если М - спектральная мера
плотно определенного симметричного оператора X = ХМ-
Используя неравенства (9.8) и 4), получаем наиболее общую форму
соотношения неопределен-
100 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. И
н осте й
Ds {Mi} • Ds {МД Хуи,]|,
справедливую для любых измерений с конечными вторыми моментами. Отметим,
что это неравенство уже может быть отнесено и к совместным измерениям,
когда MxidxJ, M2(dx2) суть маргинальные измерения по отношению к
совместному измерению М (dxlt dx2).
§ 10. Матричное представление неограниченных операторов. Коммутационный
оператор состояния
Элементы пространств X2 естественно представляются бесконечными
матрицами. Для простоты предположим сначала, что оператор плотности S =
s,-1 Ду) (Ду 1 невы-
/
рожден, так 4Tosy>0. Тогда семейство матричных единиц Д/а = : Ду) (Да
образует ортогональный базис в пространствах Х\ (S), X2(S), причем
(Д/А" Efk)s 5/, уДу^, Еj k) S S^, (Ду^, Eik)s -g- (Sy -f" Sfi).
Докажем это для X2 (S) Для любого Xs=?2(S) <Д,А, A:)s = ^(sy +
s*)(%iX\j5ft), так что
(V X)s
(Д/1 *Да)
(Eik' Eik)s
Полнота системы {ДуД следует из того, что равенство (Eik, Х>5 = 0 для
всех /, к влечет ХдА = 0 для всех к, т. е. Х = 0 в X2{S).
Имеет место разложение по базису {Ду*}:
X = 2 = 2 */* i Д/МДа|. (10Л)
/А /А
где xfk = (Ду! ХДД и ряд сходится в Jf2(S). Таким образом, всякий
квадратично-суммируемый оператор X однозначно (с точностью до
эквивалентности) представляется матрицей [(Ду; ХДД]. Это является
некоторым обобщением
§ 10] КОММУТАЦИОННЫЙ ОПЕРАТОР СОСТОЯНИЯ I(r)1
матричного представления (1.13) на неограниченные операторы.
Рассмотрим вещественное пространство Xft(S). Поскольку Х% (S) cz Х* (5),
разложение (10.1) имеет место и для X е X'h(S), однако это не будет
разложением в X%(S), так как операторы F.ih не эрмитовы и коэффициенты
xJk комплексны. Поэтому введем новую систему
С/к = к (?/fc + E*k)> Sjk - q-. (Ejh - E]k).
Легко проверяется, что {Cjk, js ортогональный базис в Xl(S)
2i
:/г; Sjk, j<.k} образуют и для X^Xh(S) имеет
место разложение
X = <XjkCjk + 2] P/fcS/ь /< k i<k
где ajk, Р/л - вещественны.
Пусть теперь некоторые собственные значения Sj оператора плотности 5
равны нулю. Условимся обозначать через Jn множество индексов /, для
которых S/ = 0, а через Jl - остальные индексы, и будем считать, что Sj
занумерованы так, что сначала идут ненулевые собственные значения. Тогда
5 представляется диагональной блочной матрицей
О
о
Рассмотрим c5?+(S). Поскольку (Ejk, Ejk)s = 0 при /е J0, то ортогональный
базис в Х\ (S) образуют операторы Е]ь\ / е Jlt k е J0 U Jx.
Следовательно, всякий элемент Х% (5) представляется матрицей вида
|А'п ; AToJ
где блоки Хп, Х10, соответствующие строкам с индексом /е/i, фиксированы,
а остальные блоки, обозначенные символом произвольны (в частности, можно
считать их нулевыми). Аналогично, элементы X'L(S) представляются
матрицами вида
X
А п Aoi;
:]•
102
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. И
Поскольку (Ejk, Ejk)s = ~2 (S/ + sft) = 0 тогда и только
тогда, когда / е/0, Ае J0, то базис в X2 (S) образуют операторы Ejk\ (/,
k)(=J0 x J0- Следовательно, элементы X2(S) представляются матрицами вида
Х =
*11
-Xoi
Для элементов Xfi(S) эта матрица удовлетворяет дополнительному условию
эрмитовости Xji = Хц, Х*0 = Х01.
Особенно простую структуру имеют эти пространства в случае чистого
состояния *S = | ¦ф1) |. Тогда элементы
пространства Х\ (S) можно рассматривать как векторы-строки:
Х =
*11 *12
S'
< оо.
Если условиться считать несущественные коэффициенты равными нулю, то
получается представление X = | ipi) (гр |, г]) е еЗГ, так что Х\ (S)
оказывается изоморфным пространству непрерывных линейных функционалов на
. Аналогично, элементы пространства X*- (S) можно рассматривать как
матрицы вида
Х =
*11
*31
т. е. как векторы-столбцы, Х = |ф)(ф1|, так что ХЪ.(е?Г) изоморфно <?№.
Наконец, элементы X2 (S) представляются в виде
*11 *12 *21 _
(10.2)
т. е. X = | фх) (ф |+ |ф) (фг |, где ф, ф е ЗГ. Элементы .5?ji(S)
представляются эрмитовыми матрицами вида (10 2),
X = | фг) (ф | +1Ф) (Ф11, фее^Г, (10.3)
Рассмотрим гильбертово пространство X2 (S); из предложения 9.1 вытекает,
