Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим комплексное скалярное произведение
<У, X)s = Тг 5 (У* ° X) = Тг (S ° X) • У* (8.10)
на пространстве всех ограниченных операторов 23(&%Д. Его ограничение на
вещественное подпространство 23л (о5У) совпадает с вещественным скалярным
произведением (8.2). Кососимметричная форма (8.6) является ограничением
косоэрмитовой формы
[У, X]5 = iTrS[y*, X] = г Тг[X, S].y*. (8.11)
Всякий ограниченный оператор представляется в виде X = Xj-f-tX]},
96
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
где Х1=4(Х + Х*), Хъ = ^г(Х - X*) - эрмитовы операторы. Непосредственно
проверяется, что
(X, X)s = (Xlt Х1>д + <Ха> Х2>5.
Обозначая через X2 (S) пополнение 53(е%Д по скалярному произведению
(8.10), имеем X2 (S) = X~h (S) (c) iX%(S).
Два других полезных комплексных скалярных произведения на 53 (^Г) даются
формулами
<7, X>J = TrSXy*, (У, X)s = Tr Sy*X. (8.12) Так как
<У, X)s = l "У, Х>? + <У, X)s),
то (X, Х)|-==?2(Х, X)s- Поэтому, обозначая через ^нДЗ) пополнения 53 (е%Д
по скалярным произведениям (8.12), имеем X2 (S) s Х+ (S). Отметим
очевидные формулы
(X, У>5±4[Х, Y]s = (X, Y)h
z (8.13)
[X, У]5 = /"Х, y>s-<X, y)S); X, Y^X2(S).
§ 9. Соотношения неопределенностей для измерений
с конечным вторым моментом
Предл о ж е н и е 9.1. Скалярное произведение ( •, ¦ )5 и форма [ •, • ]s
связаны следующими эквивалентными неравенствами:
1) <Х, X)s^~[X, X]s, Xe^(S);
2) (X, X)sss-4[X, X]s, XeP(S);
3) (Xj., X1)s + (X2, X2)s^[X1, Х2]$, Xb Y2e=5fft(S);
4) <Xlf XJs-iX" Xt)s^\[Xlt X2}%,XUX2^X%(S).
Доказательство. Для проверки 1), 2) достаточно заметить, что
(X, X)s± |[Х, Х]5 = (Х, X)j^0, X^X^S).
5 9] СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
97
Полагая Х = Хх + г'Х2, где Xj е^(S), и учитывая (8.8), находим
0<(Х, Х>5 = (Хх, Xt)s + (X2, Xt)s-[Xlr X2]s,
откуда вытекает, что 1) равносильно 3). Наконец, подставляя в 3) /Хх
вместо Хх, получаем
t" (Х1, Xx)s ДХх, X2]s-j- (Х2, X2)s^z0, -оо <С t <С оо,
что равносильно 4).
Из неравенства 4) легко получается соотношение неопределенностей для
наблюдаемых с конечным вторым моментом. Если X такая наблюдаемая, которая
задается плотно определенным симметричным оператором со спектральным
разложением X = = ^ ХМ (dX), то
Es(X) = (I, X)s, (9.1)
Ds(X) = (X-Es(X), X-Es(X))s. (9.2)
Докажем, например, второе соотношение. Учитывая (4.14) и (8.3), имеем
Dj(X)sJ(X-E5(X))Vs(dX) =
= 2 sj\ (*• - Еs (X))2 "V I м (dk) г|у) =
I
= 2 sj ((X - ES(X)) г|у i (X - E5 (X)) г|у) =
= <X-ES(X), X-ES(X))S.
причем все переходы законны в силу конечности вто/ого момента.
Пусть Хх, Х2 -две такие наблюдаемые. Применяя 4) к X, - Es(Xx), Х2 -
ES(X2) и учитывая (8.9), получаем обобщение соотношения неопределенностей
(6.7) в виде
Ds(^i)-Ds(X2)^4-[Xx, XJ&. (9.3)
Из доказательства предложения 9.1 легко усмотреть, что равенство здесь
достигается тогда и только тогда, когда для некоторого вещественного с Хх
- Es(Xx)-j-+ ic(X,-Es(X2)) = 0 в т. е.
[(Хх - Es (Хх)) + ic (Х2 - Es (Xa))J S = О,
98 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
Неравенство (9.3) относится к измерениям, которые задаются спектральными
мерами наблюдаемых. Получим теперь обобщение соотношения
неопределенностей на произвольные вещественные измерения.
В теории вероятностей элементами пространства X2 являются случайные
величины с конечными вторыми моментами. В некоммутативном случае имеет
место аналогичное соответствие между элементами пространства Х\ (S) и
вещественными измерениями с конечными вторыми моментами. Пусть М = [М
(dx)} - измерение, имеющее конечный второй момент относительно состояния
S,
где ps (dx) = Tr SM (dx). Для такого измерения определены среднее и
дисперсия (6.1). Покажем, что интеграл
сходится в Х\(S) и определяет элемент этого пространства. Эту формулу
можно рассматривать как некоторое обобщение спектрального соответствия на
произвольные разложения единицы; если М - спектральная мера, то Хм
является классом эквивалентности соответствующей наблюдаемой.
Определим интеграл
сначала для простых вещественных функций вида f (х) -
и непосредственно следует из очевидного неравенства
$ x2Ps (dx) <. оо,
(9.4)
"2/уЦ (*) как
\f(x)M(dx)^^if,M(Bi).
i
Имеет место неравенство
[5 /(x)M(dx)]2<p(x)2M(fi?x). (9.5)
В самом деле, для простой / это означает, что
(В,),
2 р/ - 2 fkM (fi*)J м (в,) ру - 2
fkM(Bk) 3= 0.
СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
99
Умножая (9.5) на 5 и беря след, получаем
<\f(x)M(dx), J f(x)M(dx))s^\f(x)2ns(dx). (9.6)
Пусть теперь {/"} - последовательность простых функций, которая сходится
к некоторой функции / в среднеквадратичном по мере ps (dx) = Тг SM (dx),
\(fn(x)-f(x))2 fxs (dx)-vO.
Тогда из неравенства (9.6), примененного к /л -/т> вытекает, что
последовательность ограниченных операторов {\ fn(x) М (dx)j является
фундаментальной в %l(S). Предел этой последовательности является
элементом X2h(S), который обозначается символом (9.4). Очевидно, что
неравенство (9.6) сохраняется для любой /, квадратично-интегрируемой по
мере р,s(dx). Мы доказали
