Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
состояния, также объясняется желанием избежать трудностей, связанных с
неограниченностью. Теперь мы собираемся отбросить подобные ограничения и
разработать аппарат, который позволил бы достаточно свободно оперировать
неограниченными наблюдаемыми, в частности определить их средние значения
и дисперсии относительно состояния, задаваемого любым оператором
плотности.
В теории вероятностей важную роль играет гильбертово пространство
случайных величин с конечным вторым моментом. В этом параграфе вводится
некоммутативный аналог этой конструкции для произвольного оператора
плотности. Соответствующее гильбертово пространство "квадратично-
суммируемых" наблюдаемых оказывается весьма удобным; в частности, сумма
таких наблюдаемых всегда определена и является квадратично-суммируемой
наблюдаемой.
Пусть S - произвольный оператор плотности:
5 = 2 s/1Ф/) (Ф/1.
/
X -ограниченная вещественная наблюдаемая. Второй момент X, согласно
(6.5), равен
/
Если рассматривать это выражение как квадратичную форму от ХеЗ^аЗГ), то
соответствующая билинейная симметричная форма, которую мы обозначим (X,
Y)s, будет иметь вид
j2s, I I = | Tr S (УХ + XY) =
= ReTr 5УХ.
Вводя симметризованное произведение
Х.У = |(ХУ+УХ), (8.1)
можно записать
<У, Х)5 = Тг5(У.Х). (8.2)
ПРОСТРАНСТВА б?г
93
Условимся операторы X, У е 33л (&ХГ) считать эквивалентными, если (X - Y,
X - Y)s = 0. Очевидно, X и У эквивалентны тогда и только тогда, когда Хфу
= Уфу при Sj^= 0, или XS = YS. Обозначим через Х% (S) пополнение
пространства классов эквивалентности операторов из 58Л (<Ж) относительно
скалярного произведения (8.2). Тогда X%{S) является вещественным
гильбертовым пространством, причем 5БЛ (е%Д естественно вкладывается в
X%(S). Дадим описание элементов этого пространства в терминах
неограниченных операторов в .
Симметричный оператор X назовем квадратично-сум-мируемым относительно
оператора плотности S =
= 2 s/1 'Фу) ('Фу 1> если Ф/^^W при Sy=^0 и /
^ S/1| Xipy f <оо. Два таких оператора X, У будем считать эквивалентными,
если Хф^Уфу при s, =^0.
Для квадратично-суммируемых X, У сходится ряд
Y 2 s' I I =
= Re ^ sy (УФу I Хгру) = (У, X)s. (8.3)
/
Если X, У ограничены, то они квадратично-суммируемы и сумма этого ряда
(У, X)s совпадает со значением, даваемым формулой (8.2).
Теорема 8.1. Элементы пространства Xl(S) являются классами
эквивалентности квадратично-суммируемых операторов', именно, если \ ХП)-
фундаментальная в смысле скалярного произведения (8.2) последовательность
в 33л (е%Д, то найдется квадратично-суммируемый X такой, что
lim (Хп - Х, Xn - X)s = 0, и, обратно, всякий квадра-
п -*со
тично-суммируемый оператор является пределом фундаментальной
последовательности {Х"} а 93л (еЯГ).
Мы будем обозначать одной и той же буквой X и оператор, и соответствующий
элемент пространства Х1.
Используя понятие оператора Гильберта -Шмидта, можно дать другое описание
квадратично-суммируемых операторов. Рассмотрим оператор
1^5 = 2^ I Фу) (Ф/|. i
94
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
Очевидно, KSe?2 (аЗГ), так как || ||| = Тг (У^)2 < сю.
Обозначая через е% (Т) область значений оператора Т, имеем
e%(VS) = t^: y=YlVsjCjyj, I С; I2 < °°|-
Предл ожение 8.1. Оператор X квадратично-сум-мируем тогда и только тогда,
когда X продолжается на сМ (]/5) так, что X VS является оператором
Гильберта- Шмидта. При этом
(Г, X>5 = ReTr(X]/5)(riAs)*. (8.4)
Доказательство. Если X квадратично-суммируем, то 'требуемое продолжение
задается формулой
X^VTj Crtj'j = 5 KsT cjXty, Z I I2 < °o.
причем ряд в правой части сходится сильно в силу квадратичной
суммируемости. Оператор X VS является оператором Гильберта-Шмидта, так
как
Тг (х Vs)* (X VS) = 2] IIX vs ъ р = 1 Хфу. I" < сю.
/ j
Формула (8.4) получается аналогично из (8.3). Обратное утверждение
очевидно.
Так как по теореме 7.3 произведение операторов Гильберта-Шмидта является
ядерным оператором, то выражение
Х-5в-1[(хК5)-К5 + К5-(Х ]AS)*]
определяет ядерный оператор в е%Д Используя эго обозначение и соотношения
(1.18), получаем еще одну формулу для скалярного произведения
<У, X)s = Tr(X'S)Y, (8.5)
справедливую для ограниченного У и X е Х\ (5). Рассмотрим теперь
коммутатор
[У, Х] = УХ-ХУ
§ 8] ПРОСТРАНСТВА 95
операторов X, У. Если эти операторы эрмитовы, то г [У, X] также эрмитов.
Поэтому соотношение
[Y, X]s = /TrS[K, Л 1 = 2 Im Тг SXY (8.6)
определяет вещественную билинейную форму на (c)Л(е5У). Воспользовавшись
предложением 8.1, можно задать продолжение этой формы на
ГУ, X]s=2ImTr(X |У5)(У VS)*.
Для Xe^S (S) соотношение
[X, S] = (X V"S) • Vs - Vs ¦ (X Ks)*
определяет ядерный оператор. Воспользовавшись формулами (1.18), мы можем
записать для ограниченного У
[У, Х]5 = /Тг[Х, 5] У. (8.7)
Эта форма является кососимметричной на %% (S):
[У, X]s = -[X, У]5.
В частности,
[X, X]s = 0, Xe=X%(S). (8.8)
Из (8.7) и (1.18) очевидно также, что
[I, X]s = 0. (8.9)
Для дальнейшего будет удобно ввести комплексифи-кацию пространства (S).
