Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 33

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 103 >> Следующая

сновыз-ается как и в конечномерном случае (см. лемму 1.6.1). Этот
функционал непрерывен, так как
| р (Т) к р (Г+) + Р (Г_) = UР (S+) + Lp (S_) <
< + /_ = Тг I Т I = I! Т Hi-Поэтому, согласно второй части теоремы 7.2,
существует ограниченный оператор М (В) такой, что р (Т) = Тг ТМ (В), в
частности, ps (5) = Тг SM (В). Из того, что 0^ps(6)=g <1, следует
0<М(?)==^1, а из р5(ф) = 0, ps(L/) = l следует Л4 (ф) = 0, М (II) - I.
Доказательство этих фактов совершенно аналогично конечномерному случаю и
опирается на аналог леммы 1.6.2. Для доказательства свой-! ства 3)
разложения единицы заметим, что для любого S вероятность ps(5) ст-
аддитивна по аргументу В. Полагая S = S^, имеем
(ф|/И(Д)ф) = 2(ф|/И(Д,)ф) (7-8)
/
для любого разбиения {В]} множества В, а это и означает выполнение
свойства 3).
Обратно, пусть {М (5)} - разложение единицы в &%". Тогда формула (2.3)
определяет семейство аффинных функционалов на @(а%^). Остается проверить
лишь ст-аддитивность функции ps(-), т. е. доказать, что из (7.8) следует
Тг S/И (Я) = 2Тг SM (В1)
I
(7.9)
ОПЕРАТОРЫ ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА И ЯДЕРНЫЕ
89
для любого оператора плотности S. Рассмотрим спектральное разложение
(2.2) оператора S. Тогда
TrSM(5)=2s*(^|M(B)^). _ (7.10)
k
С другой стороны, в силу (7.8) (Ар* | А1 (S) Ар*) - = 2 ("ф* | М (В/)
ф*). Умножая это равенство на sk, сум-/
мируя по k и меняя порядок суммирования по / и k, что возможно в силу
неотрицательности слагаемых, получаем (7-9).
Мы можем доказать также формулу (6.5) для среднего значения. Используя
(7.10), получаем
$ / (•*) r-s (dx) = 2 s/ J / (*) (Фу IЕ (dx) фу) =
= 2s/(^l/W^) = TrS/(X),
i
причем перестановка суммирования и интегрирования законна в силу
абсолютной сходимости ряда и ограниченности функции /.
Рассмотрим теперь некоммутативный аналог пространства /2. На %(e%T)
введем скалярное произведение
(7\, Гг) = Тг77Г2, (7.11)
которому соответствует норма
\T\2 = VW7T). (7.12)
Теорема 7.3. Пополнение предгильбертова пространства %(<&%") со скалярным
произведением (7.11) по норме (7.12) является гильбертовым пространством
^ ("Ж) операторов Гильберта -Шмидта, состоящим из ограниченных операторов
Т таких, что Тг Т*Т = | Те/||2 < оо
i
для любого ортонормированного базиса {бу}. Для любых
7\, Т2 е S2 (&%T) произведение 7\ Т2 является ядерным
оператором и скалярное произведение в 'S2 (<?%") определяется формулой
(7.11). При этом
17\7 g ||i *== II 7\ |? • || Т218. (7.13)
90 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
Произведение ограниченного оператора X на оператор Гильберта - Шмидта Т
(в любом порядке) является оператором Г ильберта -Шмидта, причем
Е ТХ f2 = и XT f2 sS! X I • IТ ji2. (7.14)
Заметим, что
1 Т Е < Е Т [
гак как
;77 *=,: I Л Е2 = sup ¦" = sup < Tr T*T.
llVJ ф:?0 I'VJ
Поэтому всякий оператор Гильберта - Шмидта является вполне непрерывным. В
частности, всякий эрмитов оператор Гильберта - Шмидта имеет спектральное
разложение (7.6), где
Отметим также, что
поскольку
1гТ*Т = Тг | ~ |2=ST/^ffiT/')2 = (Trlri)2-
где Ту - собственные значения оператора |Г|. Поэтому всякий ядерный
оператор является оператором Гильберта - Шмидта. Таким образом,
8 ("ЯГ) d ЗЕ1 ("ЯГ) d ("ЯН d 33 (оЖ).
В заключение рассмотрим операторы Гильберта - Шмидта в пространстве (а,
Ь). Пусть, для простоты, Т - эрмитов оператор; тогда имеет место
спектральное разложение (7.6) с ^ 0 < 00• Собственные функции образуют
ортонормированный базис в Ь). Рассмотрим
ядро
В силу того, что и § Iе/ М \2dx= 1, этот ряд
сходится в %2({а, b)x(a, b)) и определяет интегрируемую
§ 81 ПРОСТРАНСТВА j?1 91
%
в квадрате функцию двух переменных х, х', причем
Тг Г = 2 t) = ^ | Т (х, х') j2 dx dx'. i
Для любой ф е i?2 (а, Ь)
ь
Tty(x') = J Т (х', x)ty(x)dx. (7.15)
а
Если Г -ядерный оператор, то | tf | "С со и поэтому
/
функция Т {х, х) = 2 tf | б/ {х) р является интегрируемой. /'
При этом
ь
Tr Т = ^Т{х, x)dx. (7.16)
а
В обозначениях Дирака ядро должно записываться символом
(*' I т \ х) = I] *1 (х'! е}) (е,1 х).
/
Из соотношения полноты (3.12) формально следует непрерывный аналог
соотношения (1.13):
Т = ] х') (х,' | Т | х) (х | dx' dx,
откуда получается дираковская форма соотношения (7.15):
(х11 Гф) = ^ (х' | Т | х) (х | ф) dx.
Если Г-оператор Гильберта- Шмидта, то, как мы видели, ядро (х'\Т\х)
является квадратично-интегрируе-мой функцией и эти выкладки имеют
непосредственное математическое истолкование.
§ 8. Пространства ассоциированные с квантовым состоянием
Многие важные квантовые наблюдаемые представляются неограниченными
операторами. Однако неограниченность является источником определенных
технических трудностей, порой весьма серьезных. Если в теории
вероятностей определение суммы случайных величин не представ-
92
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ (ГЛ. II
ляет затруднений, то для некоммутирующих неограниченных операторов сумма
может иметь лишь тривиальную область определения. То обстоятельство, что
в соотношении неопределенностей (6.7) мы рассмотрели лишь чистые
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed