Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
, параметр 165
Фаза, измерение 210 -, - каноническое 154 -, параметр 154 Фазовое
пространство 25 Характеристическая функция
состояния 243 "Частица" 112 - классическая 124 Число квантов
(наблюдаемая) 151 Шредингера уравнение 114, 140, 269 Штерна - Герлаха
эксперимент 34, 170
"Шум тепловой" 231 Энергия 114, 140 - потенциальная 140 Ядро оператора
Гильберта Шмидта 91 конечного ранга 57
ВВЕДЕНИЕ
Математическим аппаратом современной квантовой механики служит теория
операторов в гильбертовом пространстве. Операторы играют здесь такую же
основополагающую роль, что и функции в классической механике, теории
вероятностей и статистике. Однако если в классических теориях
использование математического аппарата функций базируется на интуитивно
ясных предпосылках (которые кажутся настолько очевидными, что
классическая механика как бы сливается с лежащей в основе ее
математикой), то в квантовой теории ситуация носит иной характер.
Исторически "матричная механика" Гейзенберга и "волновая механика"
Шредингера, непосредственно предшествовавшие современной квантовой
теории, возникли как результат ряда удачных догадок, в ходе подбора
математических объектов, способных отразить непонятные особенности, в
частности, своеобразное сочетание дискретности и непрерывности в
поведении микрообъектов. Разработанная позднее Борном и другими
"вероятностная интерпретация" прояснила значение элементов операторного
формализма, установив правила, по которым они должны связываться с
реально наблюдаемыми величинами, однако и в этих постулатах оставалась,
по видимости, значительная доля "произвола теоретиков". Основным доводом
в пользу непривычного формализма продолжало оставаться поразительное
соответствие построенных на его основе предсказаний с экспериментальными
данными. Такая ситуация породила множество попыток, с одной стороны,
найти классическую альтернативу квантовой механики, которая столь же
удовлетворительно описывала бы существующий массив экспериментальных
данных, с другой стороны, наоборот, обосновать с физических и философских
пози-
4
ВВЕДЕНИЕ
ций неизбежность новой механики в области явлений микромира. Появилась и
продолжает пополняться обширная физико-философская литература,
посвященная основаниям квантовой теории.
Наряду с этим ощущается потребность и в математически более определенном
рассмотрении структуры квантовой теории и "словаря", устанавливающего
соответствие между элементами формализма и физической реальности. Из
работ такого характера в первую очередь следует упомянуть имеющиеся в
русском переводе монографии фон Неймана "Математические основы квантовой
механики" и Макки "Лекции по математическим основам квантовой механики".
Настоящая книга примыкает к ним по направленности, но значительно
отличается по содержанию и методологическим предпосылкам, учитывая
недавний прогресс в математической теории квантового измерения.
Первые три главы книги образуют введение в основания квантовой механики,
адресованное читателю, который интересуется структурой квантовой теории и
ее связями с классической теорией вероятностей. Несмотря на
математический характер изложения, оно не является чисто
"аксиоматическим". Его цель - выявить происхождение основных элементов
квантовомеханического формализма, оставаясь в рамках общепринятой
вероятностной интерпретации и базируясь, насколько это возможно, на
классических вероятностных концепциях.
Обращение к этим вопросам не было для автора самоцелью- разобраться в них
оказалось необходимым для решения конкретных задач о границах точности
квантовых измерений, возникших в приложениях. До недавнего времени к ним
не было сколько-нибудь единого и четкого подхода. Методы математической
статистики, приспособленные для решения аналогичных задач в классической
вероятностной постановке, нуждались в радикальной переработке с позиций
квантовой теории. Вторая часть книги - главы IV-VI - содержащая в
основном новые результаты, посвящена квантовой теории оценивания -
аналогу соответствующего раздела математической статистики.
Перейдем к изложению краткого содержания глав. В главе I вводятся
основные понятия состояния и изме-
ВВЕДЕНИИ
В
рения. В отличие от традиционного способа изложения, когда это делается
постулативно, здесь эти понятия выводятся из анализа статистического
описания экспериментальной ситуации. Помимо чисто методических
преимуществ, такой подход уже на начальной стадии приводит к
содержательному расширению традиционной концепции квантового измерения,
идущей от Дирака и фон Неймана. В математическом плане это приводит к
произвольным (вообще говоря, неортогональным) разложениям единицы в
гильбертовом пространстве вместо прежних ортогональных (спектральных мер)
и к отказу от самосопряженности как необходимого атрибута наблюдаемой.
Надо сказать, что неортогональные разложения единицы не являются какой-то
"экзотикой" в физике; пример дают "переполненные" системы векторов типа
