Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинга В. -> "Общая теория относительности " -> 180

Общая теория относительности - Хокинга В.

Хокинга В. Общая теория относительности — М.: Мир, 1983. — 455 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayatepriyaotnositelnosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 174 175 176 177 178 179 < 180 > 181 182 183 184 185 186 .. 222 >> Следующая

оператор А~х всюду определен и метрика gab= =(l+i4~l/?)2gaI, будет
регулярной метрикой, причем /?'= О всюду. В этом случае lx=l[g'], а /
Ig'J в свою очередь определяется поверхностным интегралом от К по
границе. Представляется правдоподобной следующая гипотеза о
положительности действия: любая асимптотически-евклидова положительно-
определенная метрика с R= 0 имеет положительное или равное нулю действие
[23]. Между этой гипотезой и гипотезой о положительности энергии в
классической лоренцевой общей теории относительности есть тесная связь.
Последняя утверждает, что измеренные с бесконечности масса и энергия
любого лоренцева, асимптотически-плоского решения уравнений Эйнштейна
положительны или равны нулю, если это решение развивается с некоторой
несингулярной начальной поверхности, причем масса будет равна нулю, если
и только если метрика тождественно-плоская. Хотя какого-либо полного
376
С. Хокинг
доказательства не существует, все же гипотеза о положительности энергии
подтверждается в ряде ограниченных случаев или при определенных
допущениях [2, 3, 15, 341, и в нее все верят. Если бы она выполнялась и в
пятимерной классической общей теории относительности (сигнатура —|—М—Ь),
то отсюда бы следовала гипотеза о положительности действия, поскольку
четырехмерную асимптотически-евклидову метрику с R =О можно было бы взять
в качестве симметричных по времени начальных данных для пятимерного
решения и масса такого решения была бы равна действию для пятимерной
метрики. Пейдж [38] получил ряд результатов, свидетельствующих в пользу
гипотезы о положительности действия. Однако он показал также, что эта
гипотеза не выполняется для метрик типа решения Шварцшильда,
асимптотически-плоских в пространственных направлениях, но не в
направлении евклидова времени. Смысл этого будет разъяснен ниже.
Пусть g0 есть решение полевых уравнений. Если Iх возрастает при всех
возмущениях g0, которые не являются чисто конформными преобразованиями,
интеграл по конформным классам будет сходиться. Если есть какое-либо
неконформное возмущение бg метрики go, при котором Iх убывает, то для
того, чтобы функциональный интеграл сходился, мы должны проинтегрировать
по всем метрикам вида go+i&g- При этом в Z будет внесен множитель i для
каждой моды неконформных возмущений, при которой Iх убывает. Этот вопрос
мы обсудим в следующем разделе. При метриках, которые далеки от решения
полевых уравнений, у оператора А могут оказаться нулевые или
отрицательные собственные значения. Когда собственное значение проходит
через нуль, А~х становится неопределенным, а 71—бесконечным. Когда
имеются отрицательные собственные значения, но нет нулевых, А~х и Iх
определены, но конформный множитель Й = 1+Л-1/?, который преобразует
метрику g к метрике g' с /?'= О, будет проходить через нуль, и, таким
образом, метрика g' будет сингулярной. Это весьма похоже на то, что
происходит с трехмерными метриками на симметричных по времени начальных
поверхностях [2]. Если h — трехмерная положительно-определенная метрика
на начальной поверхности, мы можем совершить конформное преобразование
h=Q4h, чтобы получить метрику с R = 0, которая будет удовлетворять
уравнениям связи. Если трехмерный конформно-инвариантный оператор В=—
А+/?/8 не имеет ни нулевых, ни отрицательных собственных значений (что
действительно имеет место для метрик h, достаточно близких к плоскому
пространству), конформный множитель Q будет необходимо конечным и всюду
положительным. Но если рассматривать последовательность метрик h, для
которой одно из собственных значений оператора В переходит через нуль и
становится отрицательным, то соответствующий множитель й будет сначала
расходиться, потом снова
VII. Интегралы по траекториям
377
станет конечным, но будет проходить через нуль, и метрика h будет
сингулярной. Объясняется это тем, что метрика h имеет область со столь
большой отрицательной гравитационной энергией связи, что она сама
отделяет себя от остальной вселенной, образуя горизонт событий. Чтобы
описывать подобного рода ситуации, мы должны использовать начальные
поверхности с различными топологиями.
По-видимому, нечто аналогичное может происходить в четырехмерном случае.
В некотором смысле можно считать, что метрика g, при которой оператор А
имеет отрицательные собственные значения, содержит области, которые
отделяют сами себя от остального пространства-времени, так как в них
слишком много кривизны. Их вклад можно тогда учесть, переходя к
многообразиям с другими топологиями. Во всяком случае, метрики, при
которых А имеет отрицательные собственные значения, являются в некотором
смысле далекими от решений полевых уравнений, и в следующем разделе мы
увидим, что в действительности мы можем ограничиться вычислением
интегралов по траекториям только по метрикам, близким к решениям полевых
уравнений.
Оператор А появляется в /2 со знаком минус. Это значит, что интеграл по
траекториям по конформным множителям сходится в окрестности решения
Предыдущая << 1 .. 174 175 176 177 178 179 < 180 > 181 182 183 184 185 186 .. 222 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed