Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинга В. -> "Общая теория относительности " -> 179

Общая теория относительности - Хокинга В.

Хокинга В. Общая теория относительности — М.: Мир, 1983. — 455 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayatepriyaotnositelnosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 173 174 175 176 177 178 < 179 > 180 181 182 183 184 185 .. 222 >> Следующая

соответственно SU(2) и SU(2). Например, в лоренцевой метрике тензор Вейля
может быть представлен в виде
СAA'BB’CC’DD' = $АВСОЪА’В’ЪС' D' -{-tyA'B'C'D’bARbCD' (27)
При комплексификации фл'в-с'о- заменяется независимым полем ^a’B'cd'? В
частности, может быть метрика, в которой ф^лсо^О, но фд-в'с'О'=0. Такую
метрику называют конформно самодуаль-ной, и для нее имеет место равенство
Комплексифицированное пространственно-временное многообразие М с
комплексной самодуальной или конформно-самодуальной метрикой gab может
допускать сектор, в котором метрика действительна и положительно-
определена («евклидов» сектор), но не допускает лоренцева сектора, т. е.
сектора, в котором метрика действительна и обладает сигнатурой —|—|-+.
4. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ГРАВИТАЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
Евклидово действие для скалярных полей или полей Янга — Миллса
положительно-определено. Это означает, что интеграл по траекториям в
евклидовом секторе сходится и вклад в него дают только такие
конфигурации, которые убывают на больших евклидовых расстояниях,
поскольку иначе действие становится бесконечным. Для фермионных полей
действие не является положительноопределенным. Однако они рассматриваются
как антикоммутирующие величины [I], так что интеграл по траекториям по
ним сходится. Евклидово гравитационное действие, напротив, не является
положительно-определенным даже при действительной положи-
Сabed Сabed 2 ^cd ?
Метрика называется самодуальной, если
^abcd ^ abed i
(28)
(29)
374
С. Хокинг
тельно-определенной метрике. Причина состоит в том, что, хотя
гравитационные волны несут положительную энергию, гравитационная
потенциальная энергия отрицательна из-за того, что гравитация есть
притяжение. Несмотря на это, в классической общей теории относительности
полная энергия или масса любого асимп-тотически-плоского гравитационного
поля, измеренные с бесконечности, всегда неотрицательны. Это утверждение
известно как гипотеза о положительности энергии [3, 15]. Всякий раз,
когда гравитационная потенциальная энергия становится слишком большой,
по-видимому, происходит следующее: образуется горизонт событий, и область
большой гравитационной связи испытывает гравитационный коллапс, оставляя
после себя черную дыру положительной массы. Таким образом, можно было бы
ожидать, что черные дыры играют определенную роль в проблеме
неопределенности гравитационного действия в квантовой теории, и есть
указания на то, что это в самом деле так.
Чтобы увидеть, как это действие может принимать произвольные
отрицательные значения, рассмотрим конформное преобразование
gab=№gab> гДе ^ — положительная функция, равная еди-
нице на границе дМ; имеем
R = Q-2/? — 6Й"8 ? Q, (30)
/? = Q-I/( + 3Q-2Q;ane, (31)
где п — единичная внешняя нормаль к границе дМ. Итак,
= -1бйо I («,^ + 6°:«°:*ee*-2AQ*)(jr),/.d^-м
~Ш J (32)
дМ
Отсюда видно, что / может принимать любое отрицательное значение, если
выбрать быстро изменяющийся конформный множитель Q.
При изучении этой проблемы, по-видимому, желательно разбить
интегрирование по всем метрикам на интегрирование по конформным
множителям с последующим интегрированием по конформно-эквивалентным
классам метрик. Я буду рассматривать по отдельности случай, когда
космологическая постоянная Л равна нулю, но пространственно-временная
область имеет границу дМ, и случай, когда А^=0, а область компактна без
границы.
В первом случае функциональный интеграл по траекториям по конформному
множителю определяется конформно-инвариантным скалярным волновым
оператором А——[Ц+1/,/?. Пусть {Я.„, Ф„) — собственные значения и
собственные функции оператора А с граничными условиями Дирихле, т. е.
VII. Интегралы по траекториям
375
Если Ai=0, то есть собственная функция с нулевым собст-
венным значением для метрики gab=^2Sai>- Ненулевые собственные значения и
соответствующие собственные функции не обладают таким простым поведением
при конформных преобразованиях. Но они будут изменяться непрерывно при
гладких вариациях конформного множителя, остающегося всюду положительным.
Поскольку нулевое собственное значение конформно-инвариантно, число
отрицательных собственных значений (которое конечно) остается неизменным
при конформных преобразованиях с положительными всюду Q.
Пусть Q = 1 +у, где у—0 на дМ. Тогда
I Й = — Шо J{уАу + 2Ry) ^)Ч' d*x + 7 й =
—та I «у~ A~1R) А iy~A~1R)\№4' d*x-
=T^RA-1R+n^maRA-1R + r^-maS УАУ <*>*'? *х.
(33)
где у=(у—Л-1/?).
Таким образом, можно написать
?[Й = /, + /\
где /*— первый и второй члены в правой части выражения (33), а /2— третий
член.
Iх зависит только от классов конформной эквивалентности метрики g, тогда
как /2 зависит от конформного множителя. Следовательно, можно ввести
величину X, которая будет интегралом по траекториям от ехр(—/2) по всем
конформным множителям в одном классе конформно-эквивалентных метрик.
Если оператор А не имеет ни отрицательных, ни нулевых собственных
значений, в частности если g есть решение уравнений Эйнштейна, то
Предыдущая << 1 .. 173 174 175 176 177 178 < 179 > 180 181 182 183 184 185 .. 222 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed