Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
построение канонического ансамбля для поля ф. Амплитуда распространения
от конфигурации Ф1 на некоторой поверхности в момент /х к конфигурации Фа
на некоторой поверхности в момент /, дается функциональным интегралом
<Ф2. МФ1. *i> = §0[Ф]ехр(1/[Ф]). (23)
Используя картину Шредингера, можно также записать эту амплитуду в виде
<Ф„|ехр( — ///(/, — /Х))|ФХ>.
Положим /а—/х=—t|J, Ф2=ФХ и просуммируем по полному орто-нормированному
базису конфигураций Фп. Получим статистическую сумму
Z = 2 ехр(-(}?„) (24)
поля Ф при температуре T—fi-1, где Еп —энергия состояния Ф„. Однако,
согласно (23), можно также представить Z как евклидов интеграл по
траекториям
Z= $ ?[Ф]ехр ( — //[Ф]), (25)
где интеграл берется по всем полям Ф, которые действительны в евклидовом
секторе и периодичны по мнимой координате времени т с периодом р. Как и
прежде, можно ввести источник J и получить функцию Грина функциональным
дифференцированием Z [У] по У в двух различных точках. Эта производная
будет представлять собой двухточечную корреляционную функцию, или
пропагатор, для поля Ф, но в данном случае не в вакуумном состоянии, а в
каноническом ансамбле при температуре 7’=р~1. В пределе, когда период р
стремится к бесконечности, этот тепловой пропагатор стремится к
нормальному вакуумному фейнма-новскому пропагатору.
Представляется разумным применить аналогичные идеи ком-плексификации к
гравитационному полю, т. е. к метрике. Допустим, например, что
рассматривается амплитуда перехода от метрики ftx на поверхности 5Х к
метрике h3 на поверхности 5а, где поверхности Sx и S, асимптотически-
плоские и разделены на бесконечности интервалом времени /. Как
объяснялось в разд. 1, следует соединить Si и 5, времениподобной трубкой
длины / с очень большим радиусом. Тогда можно повернуть этот временной
интервал в комплексную плоскость путем введения мнимой координаты
372
С. Хокинг
времени x=it. Индуцированная на времениподобной трубке метрика будет
тогда положительно-определенной, так что мы будем иметь дело с интегралом
по траекториям над областью М, на границе которой индуцированная метрика
h всюду положительно определена. Тогда интеграл по траекториям можно
рассматривать как интеграл по всем положительно-определенным метрикам g,
которые индуцируют на дМ данную положительно-определенную метрику h. При
том же выборе направления поворота в комплексную плоскость, как в плоской
евклидовой теории, множитель (—g)4t, появляющийся в элементе объема,
превращается в —i (g)4‘, так что евклидово действие /=—И становится
равным
' = -ШИ I <R -2Л> -\L.(gyi*#x. (26)
Проблема, возникающая из-за того, что гравитационная часть этого
евклидова действия не является положительно-определенной, рассматривается
в разд. 4.
Состояние системы определяется выбором граничных условий для метрик, по
которым производится интегрирование. Например, представляется разумным
ожидать, что вакуумное состояние будет соответствовать интегрированию по
всем метрикам, которые асимптотически евклидовы, т. е. вне некоторого
компактного множества они приближаются к плоской евклидовой метрике на
R4. Внутри этого компактного множества кривизна может быть большой, а
топология — отличной от топологии R4.
В качестве примера можно рассмотреть канонический ансамбль для
гравитационных полей, содержащихся в сферической полости радиуса га при
температуре Т, путем интегрирования по траекториям по всем метрикам,
которые заполняют область внутри границы, состоящей из времениподобной
трубки радиуса г0, которая периодически отождествляется с периодом $=Т~1
в направлении мнимого времени.
При комплексификации пространственно-временного многообразия величины,
которые комплексны в действительном лоренце-вом секторе, и комплексно-
сопряженные им величины приходится рассматривать как независимые
величины. Например, заряженное скалярное поле Ф в действительном
лоренцевом пространстве-времени можно описывать комплексным полем Ф и
сопряженным ему полем ф. При переходе к комплексному пространству-времени
необходимо аналитически продолжать Ф как некоторое новое поле Ф, которое
не зависит от Ф. То же самое относится к спинорам. В действительном
лоренцевом пространстве-времени мы имеем нештрихованные спиноры А.л,
которые преобразуются по SL(2, С), и штрихованные спиноры рл-,
преобразующиеся по ком-
VII. Интегралы по траекториям
373
плексно-сопряженной группе SL(2, С). Комплексно-сопряженный
нештрихованный спинор есть штрихованный спинор, и наоборот. При переходе
к комплексному пространству-времени штрихованные и нештрихованные спиноры
становятся совершенно независимыми друг от друга и преобразуются
соответственно по независимым группам SL(2, C)l и SL(2, С). Если делается
аналитическое продолжение в сектор, в котором метрика положительно-
опреде-лена, и накладывается ограничение, чтобы спиноры лежали только в
этом секторе, то штрихованные и нештрихованные спиноры по-прежнему
независимы, но группами преобразований становятся
