Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
Метрика, асимптотически-плоская в трех пространственных измерениях, но не
во времени, может быть записана в виде
ds2 = - (1 - 2М tr~») dt* + (1 + 2М/~l) dr2 +
+ r2(d92 + sin2ed<#>2) + 0(/--2). (8)
Если эта метрика удовлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна (А=0)
вблизи бесконечности, то Mt=Ms\ но в интеграле по траекториям
рассматриваются все асимптотически-плоские метрики независимо от того,
удовлетворяют они уравнениям Эйнштейна или нет. В такой метрике удобно
выбрать границу дМ в виде прямого произведения оси t на сферу радиуса г0.
Площадь такой границы дМ равна
J (_ ft)V. d2* = 4яг02 j (1 - 2AV„-‘ + О (г,"2)) dt. (9)
Интеграл следа второй фундаментальной формы дМ равен
(10)
VII. Интегралы по траекториям
369
где д/дп обозначает производную в направлении сдвига каждой точки дМ
вдоль единичной нормали. Таким образом,
J/C ( — h)'/td3x = (8nrB — 4nMt — 8nMs + 0(ro2))di. (И)
Для плоской метрики т] имеем К°=2го1. Отсюда
gig j {К- К9) (- Л)*/. d°x = ±$(Mt-2Ms) dt. (12)
В частности, для решения уравнения Эйнштейна с массой М (при измерении с
бесконечности) MS=M(=/Vf, и поверхностный член имеет вид
-55$Л+°(Г«"1)- (13>
3. КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
Для действительной лоренцевой метрики g (т. е. метрики с сигнатурой —К +
+) и действительных материальных полей Ф действие / [g, Ф] будет
действительным; следовательно, интеграл по траекториям будет
осциллировать и не будет сходиться. С этим связана такая трудность: чтобы
найти конфигурацию поля, которая отвечает экстремальному действию между
данными начальной и конечной поверхностями, нужно решить гиперболическое
уравнение с начальными и конечными граничными условиями. Но это
некорректная задача: у нее может вообще не быть решений или их может
оказаться бесконечное число, а если и будет какое-то решение, то оно не
будет зависеть гладко от граничных значений.
В обычной квантовой теории поля в плоском пространстве-времени эту
трудность преодолевают путем поворота оси времени на 90° по часовой
стрелке в комплексной плоскости, т. е. t заменяется на /т. При этом в
интеграл по объему от действия / вводится множитель —i. Например, для
скалярного поля массы т лагранжиан имеет вид
L=— j4>.a<t>,bgab — irnW. (14)
Поэтому функциональный интеграл
Z = j D [Ф] exp (t / [Ф]) (15)
принимает вид
2 = ^Д[Ф]ехр(-/[Ф]), (16)
где /=—И — «евклидово» действие, причем /^0 для полей Ф, которые
действительны в евклидовом пространстве, определяемом действительными т,
х, у, г. Таким образом, интервал по всем таким конфигурациям поля будет
экспоненциально подавлен и, следо-
370
С. Хокинг
вательно, должен сходиться. Далее, при замене t мнимой координатой т
лоренцева метрика т]в6 (сигнатура —Ь++) заменяется на евклидову
(сигнатура ++ ++)• При этом задача о нахождении экстремума действия
становится корректной задачей о решении эллиптического уравнения с
данными краевыми значениями.
Идея состоит в том, чтобы выполнить все интегрирования по траекториям в
евклидовом секторе (т, х, у, г действительны) и затем аналитически
продолжить против часовой стрелки в комплексной /-плоскости в лоренцев
сектор (сектор Минковского), где t, х, у, г действительны. В качестве
примера рассмотрим величину
Z[J] = JZ>[Ф]exp ^ — ^уФ/4ф + Уф^ dxdydzdx, (17)
где А — дифференциальный оператор второго порядка —? +т2, ? —
четырехмерный лапласиан и У (х) — заданное поле-источник, которое убывает
на больших евклидовых расстояниях. Интеграл по траекториям берется по
всем полям Ф, которые убывают на больших евклидовых расстояниях.
Символически Z [У] можно записать в виде
Z[y] = exp(|y^-V) ^Д[Ф]ехр(-1(Ф-Л-У) Л(Ф-Л-У)),
(18)
где А~1(хх, хг) —единственный обратный к А оператор (функция Грина),
который убывает на больших евклидовых расстояниях:
Л-У(*) = $ А-'(х, *V(*W, (19)
JA-'J = \[j{x)A-1(x, x^J^d'xd'x'. (20)
Мера Z> [ф! инвариантна относительно трансляций Ф->-Ф—Л-1У. Таким
образом,
Z [У] = exp {4tJA~XJ) Z [0]. (21)
Тогда мы можем определить евклидов пропагатор (двухточечную функцию
корреляций)
<0 | Ф (*») Ф (*i) 10> = 6у ^ bJ (XJJ=0 = А 1(хг, *,). (22)
Фейнмановский пропагатор получается аналитическим продолжением А~1(х2,
хх) против часовой стрелки в комплексной/2— плоскости.
Следует подчеркнуть, что использование евклидова сектора позволяет задать
вакуумное состояние требованием, чтобы поля Ф убывали при больших
положительных и отрицательных значениях мнимого времени т. Операция
упорядочения по времени, применяемая при определении фейнмановского
пропагатора, автоматически воссоздается направлением аналитического
продолжения из евк-
VII, Интегралы no траекториям
371
лидова пространства, поскольку если Re(/„—/х)>0, то <0|Ф(ха), Ф(*х)|0>
является голоморфной функцией в нижней /2—/х-полу-плоскости, т. е.
положительно-частотной функцией (положительночастотная функция — это
функция, голоморфная в нижней /-полуплоскости и убывающая при больших
мнимых /).
Другим важным для последующего применением евклидова сектора является
