Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
кривизны, то формулы для обоих этих случаев одинаковы: совпадает все — и
числовые коэффициенты, и знаки. В частности, локальная плотность энергии
отрицательна.
Вид, который принимает <T'*V> при s^a^1, еще более примечателен. Он
совпадает, но с обратным знаком с тем, что было бы, если бы эфир
представлял собой фотонный газ в тепловом равновесии. Локальная
температура меняется стандартным релятивистским образом: как обратная
длина локального вектора Киллинга. В рассматриваемом случае это означает,
что температура пропорциональна локальному ускорению. В единицах, в
которых k=l, коэффициент пропорциональности оказывается равным 1/2я.
Математический анализ этой системы упрощается, если ускорение а„
устремить к бесконечности. При этом удобно ввести «координаты Риндлера»
т, ?, связанные с координатами Минковского х°, х3 равенствами [63]
x° = a~iea'* shat, хя = a~le°^z\\ax. (7)
Здесь ускорение (вектора Киллинга д/дг) происходит в направлении оси х3 и
имеет локальное значение а на гиперповерхности $=0 и ae~at повсюду вне
ее. Проводник перемещен к краю многообразия ?=—оо (где его присутствие
фактически несущественно). Это многообразие известно как «клин» Риндлера
и охватывает область **>1лс°1.
Локальная температура эквивалентного фотонного газа по всему клину
Риндлера теперь дается формулой T=ae~°t /2л. Это означает, что в
локальной системе покоя относительно д/дх тензор натяжений меняется как
четвертая степень обратного расстояния от острия клина. Это можно
сравнить с поведением <T,lv> вблизи линии пересечения двух проводящих
плоскостей. Но теперь мы сталкиваемся с понятием температуры смысл
которого еще нужно уяснить. Кроме того, необходимо ответить также на
следующий вопрос: как нужно понимать отрицательность плотности энергии?
Дело выглядит так, словно основное состояние клина Риндлера (так
называемый вакуум Риндлера) каким-то образом находится ниже абсолютного
нуля температуры! Для того чтобы привести энергию состояния к энергии
вакуума Минковского, необходимо
VI. Квантовая гравитация-, новый синтез
309
добавить фотоны, и эти фотоны должны иметь тепловое распределение.
Как ни удивительна такая интерпретация, она все-таки верна. Этот и многие
другие примеры, найденные за последние несколько лет, привели к важным
изменениям в наших представлениях о «частицах» и о способах определения
их и связанных с ними вакуумных состояний. Как это было ранее с теорией
относительности и с квантовой теорией, мы оказались вынужденными
обратиться к операционным определениям. В нашем случае мы должны задаться
вопросом: каким был бы отклик детектора частиц в данной ситуации? *)
Чтобы увидеть, как ответ на этот вопрос разрешает загадку с отрицательной
энергией, рассмотрим сначала детектор частиц в обычном пространстве-
времени Минковского (без проводников). Пусть для простоты
электромагнитное поле заменено безмассовым скалярным полем Ф, и пусть
взаимодействие между детектором и полем простого монопольного типа и
описывается лагранжианом вида
Здесь функции (т) определяют мировую линию детектора (идеализируемого в
виде точечного объекта), а оператор ш(т) определяет его монопольный
момент в момент собственного времени т. Допустим, что детектор обладает
набором внутренних энергетических собственных состояний, описываемых
векторами |?>, причем ?=0 соответствует основному состоянию. Отклик
детектора тогда будет связан с матричными элементами
Предположим, что детектор вначале находится в своем основном состоянии, а
поле — в состоянии, описываемом символом 'F. Тогда амплитуда того, что
эта сложная система перейдет из состояния (0, 'Т) в состояние (?, ?'),
определяется формулой
где Т — оператор хронологического упорядочения. Если ?>0 и
(перенормированный) монопольный момент настолько мал, что радиационными
поправками к лагранжиану взаимодействия можно пренебречь, то эта
амплитуда адекватно определяется первым по-
LB3 = m(T)Ф(х (т)).
(8)
<? | m (т) | ?'> = <? | m (0) | ?'> <* <?-?'>
(9)
(10)
*) В. Унрю [69J первый предпринял систематическое исследование этого
вопроса.
310
B.C. Де Витт
рядком теории возмущений:
О»
А (?, ?'10, ?)«/(?, ?'| J m (т) Ф (х (т)) dx 10,?)=
- оо
90
= t<?|m(0)|0> J е‘ЕХ <?' | Ф (х (т)) ?> dx. (11)
— оо
Полная вероятность того, что детектор перейдет в возбужденное состояние с
энергией Е, тогда равна
Р(Е) = Я\А(Е, ?' 10, ?)|* =
V’
00 оо
—1<? | m (0) 10> |2 J dx J dx'e-‘?<^'><?|*(x(x))*(x(x')|?>. (12)
— 00 — о»
Мы видим, что отклик детектора зависит от матричного элемента
монопольного момента и от фурье-образа (вдоль мировой линии) функции
Вайтмана для поля.
Если поле находится в стандартном вакуумном состоянии пространства
Минковского, а детектор движется вдоль геодезической мировой линии, то в
функции Вайтмана имеются только положительные частоты, фурье-образ ее в
формуле (12) равен нулю и детектор остается в своем основном состоянии
(Р(Е)=0). Если детектор испытывает ускорение, то Р (Е), вообще говоря,
