Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
должно быть инвариантным относительно преобразований Лоренца,
соответствующих бустам, параллельным плоскости (х1, х2). Эго означает,
что первые три столбца и строки <Ttlv> должны быть пропорциональны
метрическому тензору (2+1)-мерного пространства Минковского, а именно
diag (—1, 1, 1). Если к этому выводу добавить еще то наблюдение, что в
случае электромагнитного поля Т?=0, то мы придем к заключению, что <T|iv>
имеет вид
<T^> = /(x3)xdiag(-l, 1, 1,-3). (3)
Но это еще не все. Можно установить также и вид функции f(x3). Для этого
нужно прибегнуть к закону сохранения <Т^ v>=<T|1V> v= =0. В частности,
0 = <T3V>,V= —3/' (xs), (4)
откуда следует, что f есть постоянная, не зависящая от х3. Далее, <T|1V>
имеет размерность энергии. Единственные фундаментальные постоянные,
которые входят в теорию,— это А и с. Чтобы получилась постоянная, имеющая
размерность энергии, необходима единица длины, массы или времени. В
данной задаче нет никаких
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
303
величин с такими размерностями. Поэтому можно прийти к единственному
заключению, что /=0 и, следовательно, в бесконечном полупространстве
<ТЦу>=0.
Этот вывод подтверждается прямым вычислением. Функцию Грина для
бесконечного полупространства легко построить из функции Грина для
пространства Минковского методом изображений. Тогда <T|iV> получается
соответствующим дифференцированием полученной функции Грина и последующим
сведением вместе пространственно-временных точек, от которых она зависит.
Результат, конечно, расходится и должен быть перенормирован путем
вычитания соответствующего результата для пространства Минковского. Это
эквивалентно вычитанию функции Грина для пространства Минковского из
функции Грина для полупространства. Хотя результирующая перенормированная
функция Грина сама не обращается в нуль, она дает <T|iv>=0.
Все приведенные соображения относительно вида <ТЦУ> столь же верны и для
многообразия-зазора, за тем исключением, что теперь имеется естественная
единица длины — расстояние а, разделяющее параллельные проводящие
плоскости. Поэтому в области между проводниками следует ожидать, что
<T^> = /(a)xdiag(-l, 1( lt —3). (5)
Вид функции /(а) может быть определен из рассмотрения работы необходимой
для адиабатического разведения проводников. Из анализа случая
полупространства мы знаем, что на проводники не действуют извне никакие
силы. Но есть внутренняя сила, стремящаяся свести их вместе, и ее
величина на единицу площади равна 3f(a). Если проводники раздвигаются на
расстояние da, то для этого на единицу площади нужно совершить работу dW=
=3f(a)da. Она должна проявиться как прирост энергии на единицу площади,
равный Е——af(a). Положив dW=dE и интегрируя, немедленно получаем
Ж = (6)
где А — некоторая универсальная константа.
Вид выражения (6) можно также вывести из анализа размерно-тей.
Единственная комбинация из А, с и а, дающая плотность энергии, есть
Ас/а4. В дальнейшем мы положим К=с= 1. Тогда постоянная А будет
безразмерным числом.
Чтобы оценить значение А, необходимо прямое вычисление. Вновь методом
изображений можно построить функцию Грина и, вычитая из нее функцию Грина
для пространства Минковского, получить перенормированную функцию Грина.
Перенормированное <T|1V> уже не обращается в нуль. При этом
подтверждаются выражения (5) и (6), и для А получается значение л*/720. В
преде-
304
Б. С. Де Витт
лах ожидаемых ошибок это значение находится в согласии с опытом.
Можно видеть, что плотность энергии эфира между проводниками
отрицательна. Эта энергия ничтожно мала, на много порядков меньше
энергии, необходимой для создания гравитационного поля, которое можно
было бы измерить. Но легко придумать мысленные эксперименты, в которых
нарушается закон сохранения энергии, если эта энергия не будет включена в
источник гравитационного поля. Плотность энергии в квантовом эфире часто
оказывается отрицательной. Поэтому квантовая теория нарушает посылки
знаменитых теорем Пенроуза — Хокинга относительно неизбежности
сингулярностей в пространстве-времени, которые в конечном счете
предсказывают крах классической общей теории относительности.
2.1. ДРУГИЕ ТОПОЛОГИИ
Для того чтобы <T|XV> было отлично от нуля в плоском пространстве, вовсе
не обязательно, чтобы, как в случае эффекта Казимира, многообразие было
неполным. В полных многообразиях также может наблюдаться подобное
явление; например, в многообразиях /?Х2, где «слои» 2 — плоские,
пространственноподобные гиперповерхности Коши, имеющие одну из следующих
топологий: /?2х5х, RXT*, Г8, RxK2 и т. д., где Та есть я-мерный тор, К3—
двумерная бутылка Клейна и т. д. Случай 2 = /?3xS1 имеет наиболее близкое
сходство с эффектом Казимира. Единственное отличие состоит в том, что
вместо наложения граничных условий о том, что поверхности, ограничивающие
зазор, образованы проводником, теперь накладываются периодические
граничные условия. <T,1V> снова принимает вид (5), (6), где теперь а —
