Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Эта теорема утверждает, что если в данной теории поля имеется большая масса (для определенности, скажем, тР) и если часть полей или состояний остается безмассовой в пределе тр-+- оо, то эти состояния отщепляются в пределе от остальных состояний, а их эффективные взаимодействия перенормируемы (с точностью до неперенормируемых взаимодействий, обратно пропорциональных некоторой степени тр). Теорема об отщеплении нулевых масс отвечает физической интуиции, она может быть доказана в предположении, что исходная теория является хорошо определенной перенормируемой теорией (например, ка-
10. Супергравитация и великое объединение 197
либровочной теорией) и состояния с нулевой массой соответствуют некоторым полям исходной теории. По-видимому, эту теорему можно доказать также для связанных состояний с нулевой массой. Действительно, если бы их взаимодействия были перенормируемыми, то при вычислении вершинных функций возникали бы расходимости, единственным обрезанием которых может быть обратный размер связанных состояний, который, как мы ожидаем, равен тр. Это привело бы либо к массам порядка trip, либо к нарушению теории возмущений для связанных состояний (этот аргумент мы заимствовали у М. Велтмана). Мы хотим применить теорему к случаю, когда исходной теорией является N = 8-супергравитация, а состояния с нулевой массой составлены из фундаментальных полей (надо признаться, это смелая экстраполяция). Следствие теоремы об отщеплении нулевых масс состоит в том, что состояния с нулевой массой не могут иметь спин выше 1, так как иначе их взаимодействия были бы неперенормируемыми. По той же причине ПОЛЯ CO спином 1 должны быть калибровочными, а поля со спином 1/2 должны образовывать набор, свободный от аномалий; скалярные поля могут оставаться в любом количестве. Все поля или состояния, не принадлежащие этому подмножеству с перенормируемыми взаимодействиями, должны исчезать в пределе тР ->оо, получая очень большие массы (или, возможно, переставая взаимодействовать).
Составной супермультиплет
В каком супермультиплете содержатся SU(8) -калибровочные поля? Согласно Креммеру и Жулиа, эти составные поля выражаются через билинейные и высшие комбинации фундаментальных скаляров. В симметричной калибровке, где все фундаментальные поля являются физическими, выражения для составных полей совпадают (с точностью до высших нелинейностей) с сохраняющимися токами глобальной SU(8) -симметрии уравнений движения, или, точнее, с той частью этих токов, которая содержит скалярные поля. Несмотря на различия в высших нелинейных членах, можно вообразить себе, что эти составные операторы будут описывать векторные связанные состояния. В таком случае мы хотели бы найти супермультиплет, содержащий токи глобальной SU(8). Отметим, что SU(8)-токи, входящие в состав какого-либо супермультиплета, должны содержать вклады от всех фундаментальных полей со спинами до 3/2 включительно (спин 2 является 5?/(8)-синглетом). Поскольку фундаментальные поля со спином 1 преобразуются относительно SU(8), в частности, с помощью дуальных вращений, то генераторы SU(8) не могут быть получены как интегралы от временных компонент каких-либо локальных токов;
198 Б. Зумино
то же самое верно для генераторов 50(8) подгруппы: эта не-яокальность является следствием нулевой массы фундаментальных векторных полей.
Чтобы найти супермультиплет, включающий Sf/(8)-токи, рассмотрим сначала суперсимметричные теории с меньшими N. Для безмассовой суперсимметричной системы с N ^ 4 и максимальным спином 1 все токи локальны и входят в состав супер-токового мультиплета [33,34], содержащего также тензор энергии-импульса и N спин-векторных токов. Если поля этой системы удовлетворяют уравнениям движения, то суперток образует массивный супермультиплет суперсимметрии с N ^ 4 спи-норными зарядами, максимальный спин которого равен 2 и является синглетом, а состояния с меньшими спинами классифицируются по представлениям группы Sp(2ri). При устремлении массы к нулю супермультиплет распадается на несколько без-массовых супермультиплетов, в которых различные спираль-ности классифицируются по представлениям SU(N). He представляет труда определить, какой из этих безмассовых супермультиплетов содержит St/(8)-токи в присоединенном представлении. Он имеет вид, приведенный ниже в (11), (12). Проведенное рассуждение обоснованно для N <; 4; можно предположить, что искомый мультиплет имеет тот же самый вид и для N = 8.
Следуя этой длинной (и не слишком убедительной) цепочке аргументов, Эллис, Гайяр, Майани и автор [28] пришли к выводу, что подходящий супермультиплет состояний задается следующим образом (А, В, ...= 1,2........8):
(3/2)A, (I)V (1/2) Vb (O) V:/».........(-5/2)*; (И)
к этим состояниям следует добавить СРГ-сопряженные состояния
(5/2)* (2)ав, (3/2)л[Вс], (~3/2)л (12)
(набор k антисимметризованных нижних индексов эквивалентен 8 — k антисимметризованным верхним индексам). Этот супермультиплет включает состояния со спином 1 как в присоединенном, так и в других представлениях. Содержащиеся в (12) представления SU (8) приведены в табл. 1.
