Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
некомпактной группы E7. Обозначим через Xі 63 генератора
SU(8) и через Ya 70 дополнительных некомпактных генераторов E7. Тогда 63 скаляра щ и 70 скаляров Ьа можно объединить в групповой элемент E7:
exp [CilXi^baYa) (7)
(подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Глобальная E7 реализуется на скалярах с помощью группового умножения справа, а локальная SU(8) — групповым умножением слева. Ясно, что локальным SU(8) -преобразованием можно привести (7) к виду с 70 скалярами:
exp (baYa) (8)
(симметричная калибровка). Если теперь подействовать на (8) ^-преобразованием справа, то форма (8), вообще говоря, не
10. Супергравитация и великое объединение 195
сохранится, но ее можно восстановить, действуя слева локальным SU(8) -преобразованием с параметрами — функциями скаляров Ьа¦ Поэтому результирующее преобразование на Ьа нелинейно, а на остальных полях фундаментального супермульти-плета оно реализуется линейно по этим полям, но с параметрами, зависящими от Ьа. Преобразования глобальной SU(8), содержащейся в E7, реализуются на полях линейно. Симметричная калибровка, в которой имеются только физические поля, удобна для описания физического спектра теории, однако общая формулировка обладает большей гибкостью и более полезна в лагранжевом подходе. По аналогии с СРп_1-моделью Креммер и Жулиа ввели нераспространяющиеся калибровочные векторы SU (8), чтобы сделать лагранжиан явно инвариантным относительно локальной группы SU(S). Эти векторы не имеют кинетических членов, уравнения движения для них чисто алгебраические, что позволяет выразить их через остальные поля. Подставляя эти выражения в лагранжиан, мы получим теорию без калибровочных векторов с (неявной) SU(8) -калибровочной инвариантностью. Однако, как ясно из приведенного обсуждения, эта калибровочная инвариантность искусственна: она обусловлена введением 63 чисто калибровочных скалярных степеней свободы щ. С другой стороны, глобальные инвариантности SU'(8) и E7 являются истинными симметриями уравнений движения.
Аналогия с CPnr-1 -моделью была развита Креммером и Жулиа еще дальше. В этой модели в двумерном пространстве-времени показывается с помощью l/n-разложения, что нераспро-страняющееся U(I)-калибровочное поле становится динамическим, а его пропагатор получает полюс в k2 = 0. Креммер и Жулиа предположили, что такое же явление может происходить и с 5С/(8)-калибровочными полями. Иными словами, фундаментальные поля теории, функциями которых являются калибровочные векторы, связываются в частицы нулевой массы. Естественно предположить [28—30], что поля фундаментального супермультиплета N = 8-супергравитации, связываясь, образуют другой безмассовый супер мультиплет, содержащий поля со спином 1 в присоединенном представлении SU (8). Точно так же как группа SU (8) достаточно велика, чтобы включить в себя группу великого объединения, супер мультиплет связанных состояний достаточно велик, чтобы содержать все известные кварки, лептоны, векторы и скаляры.. Таким образом, все поля, рассматриваемые в настоящее время как элементарные, следует считать составными (ранняя попытка в этом направлении сделана в работе [31]).
В двумерной СР"-1-модели в l/n-разложении происходит и другое интересное явление. Векторное поле t/ (1), приобретя полюс в k2 = 0, действует как связующая и запирающая сила
196 Б. З умино
между фундаментальными скалярами модели. В результате спектр состоит из связанных состояний этих скаляров и обладает SU(n) -симметрией [32], хотя фундаментальные скаляры принимают значения только в пространстве смежных классов
CPn'1 =SU (n)/S[U (l)XU(n- 1)]. (9)
В N = 8-супергравитации фундаментальные скаляры принимают значения в 70-мерном пространстве смежных классов
E7fSU (8). (10)
По аналогии можно ожидать, что связанные состояния образуют одно (или несколько) представлений Ej. Так как эта группа некомпактна, ее унитарные представления бесконечномерны, и следует ожидать, что связанные состояния образуют бесконечный супермультиплет с произвольно высокими спинами. Заметим, что E7 нелинейно реализуется на конечном супермультиплете фундаментальных полей. Мы предполагаем здесь, что на связанных состояниях она реализуется линейным образом (эта возможность возникла в обсуждениях с У. Бардиным и
Э. Рабиновичем).
Можно вообразить себе следующую картину. При энергиях, сравнимых с планковской массой тр (или больших), точны суперсимметрия и локальная внутренняя группа SU(8) (а также, возможно, E7). Динамика определяется гравитационной постоянной и ~ \/тР. При уменьшении энергий до массы великого объединения нарушаются все суперсимметрии, a SU (8) нарушается до группы великого объединения, скажем St/(5). Это спонтанное нарушение симметрии характеризуется вакуумным средним <ф> некоторого скалярного поля. При энергиях порядка массы великого объединения взаимодействия определяются безразмерной константой связи g ~ и<^>, играющей роль калибровочной константы связи ТВО. Сама TBO возникает как «низкоэнергетическая» эффективная теория, полученная из теории, явно инвариантной при энергиях порядка планковской массы. Тот факт, что эта калибровочная TBO перенормируема, можно, по-видимому, понять с помощью «теоремы об отщеплении нулевых масс».
