Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
FaiZl = O. (6.4)
Связи (6.3) и (6.4) вместе образуют набор связей для N = = 2-суперсимметричной теории Янга — Миллса, полученный впервые в работе [16]. Следует отметить, что в нашем выводе существенным было рассмотрение в качестве основного представления N = 2-представление с ' центральным зарядом.
В настоящее время мы обобщаем выводы, приведенные здесь для связей в N= 1-супергравитации и в JV = 2-суперсимметричной теории Янга — Миллса, на недавно полученные [21] связи в N = 2-супергравитации. Результаты будут представлены в отдельной публикации.
Мы весьма признательны Ренате Каллош и Мартину Рочеку за содействие, оказанное в ходе многих обсуждений во время выполнения этой работы. Последние два автора хотят выразить благодарность фонду Наффилда и профессору Стивену Хокингу из Кембриджского университета за поддержку и гостеприимство во время Наффилдовского рабочего совещания по квантовой гравитации в июле и августе 1979 г. Мы все рады выразить благодарность организаторам рабочего совещания по супергравитации в Стони Брук, где докладывалась данная работа, и профессорам Ч. Н. Янгу и Питеру ван Нивенхийзену за гостеприимство в Стони Брук.
9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 187
Приложение
Мы хотим показать с помощью тождеств Бьянки, что из связей
первого и второго типов, приведенных в разд. 2, следуют соот-
ношения
Ra^b — Rafiyb = "6 (eavepa + 8a6ePv) (П. 1)
2)аТ р +SDpTa = О, SDaR = 0.
Доказательство проводится аналогично данному в работе [22]. Список связей имеет следующий вид:
V-7V-V=jV-3V =
- V -21 W “ V (в*1) ,(=O- <п-2>
Перепишем последнюю связь в виде
V.+V*-0- (п-3)
где
-Tm (Ot)li Mw. (П.4)
Для полноты напомним тождество Бьянки
Z Wbcd + Rabcd + TabpTfc0) = 0. (П.5)
А, В, С циклическая сумма с учетом четности индексов
Рассмотрим теперь отдельные компоненты тождеств Бьянки при условии, что выполнена связь (П.2). Взяв
A = a, B = P, C = Y, D = C, можно доказать, что
Та$</йЬ "Ь TfiayQb — О- (П.6)
Из уравнений (П.З) и (П.6) следует
Ta^byy = eOpeAy^V (П.7)
где
49 = та b 40V в yb'
Свертывая уравнение (П.7), получаем связь между Sa и Таьь:
Ta = Tj = Sa. (П.8)
Поскольку мы хотим найти соотношения, включающие Ra$cD, мы рассматриваем два тождества Бьянки, содержащие части этого тензора. Тождество Бьянки с
Л = a, B = P, C = 6, D = Y
188 С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К. Вест
дает уравнение
Rafrby = (П-9)
где
^apAf ~ Taafl (оа)р4.
С другой стороны, рассматривая тождество Бьянки с A = a, B = а, С = р, D = b,
получаем
^apsAxA ^^иа^рзАи 'I- ^'®ир ""I-
+Wfc (®А+T sA)+»а (® А + TsA) ¦ (П-Ю)
где
^apaAxx ~ ^aPCd (а<%А (а )*х'
Используя тот факт, что Ra$Cd принимает значения в алгебре Ли, мы можем вывести соотношение
^aPaAxx = ^eeIlRafrbil + 2евй/?арвх. (П. 11)
Запишем теперь в виде
^paAx = ераеАх^ + 8Ax^pa + ера^A*-!- ^paAx'
Тогда из уравнения (П.8) следует
^pa ^ 0» ^apAy ~ (П. 12)
Взяв часть уравнения (П. 10), симметричную по б и и, и ис-
пользуя уравнение (П.11), получаем
^Ax ~ ^apA* ==®г^аРАх' (П. 13)
Уравнения (П.12) и (П.13) дают
Ra Pif = 0» (П. 14)
^paAx = ераебй^* (П.15)
Далее, остающаяся часть уравнения (П.10) дает уравнения
®aS р + &$Sa = 0, (П. 16)
Ra.ртб (®ау®рв ~Ь" eaeepY) R, (П. 17)
2 R = 24ІТ + Зй)р5р +15р5р. (П.18)
Из уравнений (П.15) и (П.8) следует
&аТр+SDpTa = 0. (П.19)
9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 189
Тождество Бьянки с
A = a, B = а, С = р, D = у
дает
izVr + T V=0- (п-20>
Применяя к уравнению (П.20) и используя уравнение (П.18), получаем
-?>^(±)=4і-j~- . (П.21)
Применение ZDa дает
SD0R = О,
что и завершает вывод всех требовавшихся результатов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Stelle К. S., West Р. С, Phys. Lett, 74В, 330 (1978);
Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett, 74B, 333, (1978).
2. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett, 76B, 404 (1978);
Stelle K. S., West P. C„ Phys. Lett, 77B, 376 (1978);
Stelle K. S., West P. C„ Nucl. Phys, B145, 175 (1978).
3. Wess I., Zumino B., Phys. Lett, 66B, 361 (1977); Phys. Lett, 74B, 51
(1978);
Brink L., Gell-Mann M., Ramond P., Schwarz H. H., Phys. Lett, 74B, 336
bedding S. P., Downes-Martin S., Taylor I. G., Ann. Phys. (N. Y.), 175
(1979).
4. Siegel W., Gates S. I., Nucl. Phys, B149, 77 (1979).
•5. Ogivetskii V., Sokatchev E., Phys. Lett, 79 B, 222 (1978);
The Simplest Group of Einstein Supergravity, Dubna preprint, 1979;
The Gravitational Axial Superfield and the Formalism of Differential Geometry, Dubna preprints, 1979.
6. Ogievetsky V., Sokatchev E., Nucl. Phys, B124, 309 (1977);
Siegel W., Harvard preprints HUTR-77/A668, November 1977 and HUTP-77/A080, December 1977.
7. Howe P. S., Tucker R. W., Phys. Lett, 80B, 138 (1978).
8. Siegel W., Phys. Lett, B80, 224 (1979).
9. Breitenlohner P., Phys. Lett, 67B, 49 (1977); Nucl. Phys, B124, 500
(1977);
de Wit B., Grisaru М. T., Phys. Lett, 74B, 57 (1978).
