Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
0аФ = 0. (5.11)
Здесь не появляются новые условия интегрируемости, хотя кроме обычной ковариантной производной имеется еще член Ta. Это обусловлено тем, что SDaTp +?>$Та = 0 как следствие связей первых двух типов и тождеств Бьянки, что уже было отмечено (5.3). Это обстоятельство следует сравнить с сохранением вида неприводимых представлений с внешними лоренцевыми
индексами, обсуждавшимся в разд. 4; там требуемые условия
интегрируемости также вытекали из связей первого и второго типов и тождеств Бьянки.
Очень важный результат для настоящей работы состоит в том, что только из связей первого и второго типов следует уравнение
ад== 0, (5.12)
которое уже выписывалось выше в (4.9) (доказательство приведено в приложении). Однако с точки зрения этого раздела
184 С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К¦ BeCt
не очевидно, что уравнение (5.12) супервейлевски ковариантно; на самом деле оно ковариантно, поскольку может быть выведено из супервейлевски ковариантных связей первого и второго типов. С точки зрения явной супервейлевской ковариантности на равных правах с (5.12) можно использовать уравнения вида
(0а +^a) Q = 0, (5.13)
где Q есть сумма R и поправочных членов:
Q = + ?{?>% +&%). (5.14)
Ясно, что вместо R = 0 может быть наложена более общая связь
Q = O (5.15)
с соответствующим различием в форме остающейся суперкон-формной инвариантности. Используя отождествление, употреблявшееся в разд. 1:
?—-ёттЬ <5Ле>
мы восстанавливаем общую форму связи (2.56) и суперкон-формные преобразования, рассмотренные в работе [8].
В статьях [11, 23] обсуждаются суперконформные преобразования в шестимерном пространстве-времени и их отношение к супергравитационным связям.
6. Заключение
Хотелось бы надеяться, что данный нами вывод связей для M = 1-супергравитации вскрывает общие алгебраические черты, характерные для всех теорий супергравитации. Основываясь на результатах настоящей работы, мы считаем, что для получения связей в теории расширенной супергравитации может быть предложена следующая программа:
1. Выбор стандартных связей, с помощью которых можно выразить возможно большее число компонент связностей и реперов.
2. Нахождение условий интегрируемости, необходимых для сохранения общей структуры представлений плоской суперсимметрии.
3. Частичное закрепление калибровки на супергруппе Вейля, которое должно быть ковариантно относительно лежащей в основе суперсимметрии Пуанкаре. При этом нужно принимать во внимание приводимость параметров супергруппы Вейля.
Уже сейчас можно наметить некоторые черты, характерные для теорий расширенной супергравитации. Мы вновь подчерки-
9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 185
ваем важность рассмотрения представлений плоской симметрии. В случае расширенных суперсимметрий необходимо включить центральные заряды. Это легко видеть при применении нашего метода вывода связей к случаю расширенной N = 2-суперсим-метричной теории Янга — Миллса, для которой связи впервые были получены в работе [16]. Наименьший мультиплет N = 2-суперсимметрии — скалярный гипермультиплет [17], который обладает центральным зарядом [18] и, более того, вообще не существует, если отсутствует центральный заряд [19]. Он описывается суперполем Фг (^ц, 0а/, 0йй), которое является изоспинором относительно SU (2), лоренцевым скаляром и удовлетворяет дифференциальным условиям [19]
SDaiOi + SDaiOt = 0 (6.1а)
0йгФ/ + 0й/Фі = О, (6.16)
где
SD ai = etj®J
с учетом того, что
[SDaiT = SDii.
Для описания N — 2-суперсимметричной теории Янга — Миллса мы распространяем обычные суперсимметричные ковариантные производные и делаем их ковариантными в смысле теорий Янга — Миллса1):
&B = g)B + igAB, (6-2)
где А теперь пробегает 4 бозевских и 8 фермиевских значений, a Ab принимает значения в алгебре Ли. Однако при наличии калибровочного поля Ab следует соответственно видоизменить определяющие условия (6.1). В калибровочной теории условия интегрируемости могут быть получены следующим образом. Применим еще одну ковариантную производную SD$k к янг-миллсовской ковариантной версии (6.1а), симметризуем по (а, р) и затем возьмем циклическую сумму по (i,}, k). Поскольку Фг — произвольные функции, нетрудно видеть, что возникающее уравнение может быть удовлетворено только в том случае, когда напряженности поля подчиняются соотношению
Fai Vі + FalJ = O. (6-3 а)
Аналогично, применяя к янг-миллсовской версии (6.16)
и затем производя в точности такую же симметризацию, получаем
FЫ $7 "t“ Ffcdi ~ (6.36)
') На необходимость сделать ковариантными определяющие условия неприводимых представлений было указано в работе [20].
186 С Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К. Вест
Применяя далее §?>$*. к янг-миллсовской версии (6.1а) и SDak к янг-миллсовской версии (6.16) (переставляя аир), складывая и, наконец, циклически суммируя по (i,j,k), находим
Faifil "Ь Faj^i = 0, (б.Зв)
где
P — Q F k
aid І Bikrа $/•
Найденные три условия (6.3) являются связями, сохраняющими вид представления для N = 2-суперсимметричной теории Янга — Миллса. Интересно отметить, что в этом случае одна из связей, сохраняющих вид представления (б.Зв), содержит одновременно лоренцевы индексы с точкой и без точки. В N = 1-теории соответствующие связи со смешанными индексами стандартны. Ho в данном случае векторная компонента калибровочного поля Aa содержится только в следе по (/,/) от Fa‘bj- Таким образом, стандартные связи для N = 2-суперсимметричной теории Янга — Миллса записываются в виде
