Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Полный набор связей, рассмотренный в разд. 1, кроме связей первого и второго типов содержит дополнительные связи.
9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей ^
Эти дополнительные связи могут быть выбраны двумя различными способами и приводят соответственно к двум различным наборам вспомогательных полей. В данном разделе мы включим эти последние связи в общую картину, развитую в предыдущих двух разделах.
Отправной точкой может служить тот факт, что связи третьего типа не инвариантны относительно супергруппы Вейля. Из работы [8] и уравнений (3.7) получаем
бTa = бTj = LTa - 20а (2L + Г), (5.1)
6R = - 6 {раФа - -§-) L. (5.2)
Мы знаем (уравнение (4.9)), что суперполе R кирально, поэтому вариация R должна иметь фор.му кирального проектора (4.7), действующего на некоторое суперполе. Вариация R, задаваемая уравнением (5.2), имеет как раз требуемую форму. Таким образом, преобразование R зависит только от киральной части параметра супергруппы Вейля.
В противоположность этому неоднородная часть преобразования Ta (см, (5.1)) в явном виде содержит ковариантную производную 2Da, поэтому она вообще не зависит от киральной
части супервейлевского калибровочного параметра. Другими словами, неоднородная часть преобразования Ta зависит только от линейной части супервейлевского параметра.
Эти замечания наводят на мысль, что связи третьего типа (2.5а), (2.56) соответствуют двум частным выборам калибровки по супергруппе Вейля, основанным на разбиении комплексного общего скалярного параметра на неприводимые части. Оба этих пути ковариантны относительно суперсимметрии Пуанкаре. На первый взгляд, однако, при такой интерпретации имеется следующая очевидная трудность. Связь Ta = 0 имеет две компоненты, тогда как связи (2.56) — только одну (например, при n = —I R = O). Это затруднение устранимо, поскольку можно доказать, пользуясь связями только первого и второго типов, что из тождеств Бьянки следует
ZDaT^tbpTa = O. (5.3)
Отсюда
Гр = SDpT, (5.4)
где T — некоторое комплексное скалярное суперполе, киральная часть которого несущественна. При внимательном изучении (5.2) мы видим, что вариация T имеет следующий вид:
6Г = — 2 (2L + L*) + произвольная киральная часть. (5.5)
Используя линейную часть —2(2L + L*), можно выбрать калибровку, в которой Ta = 0. Таким образом, связь (2.5а) может
182 С. Доісеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К. Вест
быть рассмотрена как частичная фиксация супервейлевской калибровки, несмотря на то что она имеет две компоненты.
Следствием фиксации только частичной супервейлевской калибровки, заданной связью (2.5а), является то, что связи первого и второго типов вместе со связями (2.5а) остаются инвариантными относительно подгруппы супергруппы Вейля, параметром которой служит киральная часть —2(2L + L*), которую мы обозначим 2* {&аЪ* = 0). Точное выражение для 2* может быть записано с помощью кирального проектора Р+<°-°> (уравнение (4.7)). Преобразование обратного репера относительно остающейся группы инвариантности имеет вид
бЕам = LEaM = - (22* - 2) Еам, (5.6)
где для остающейся группы требуется, чтобы 2* = —2(2L + -j- L*) было киральным. Читатель узнает в (5.6) преобразование, принадлежащее суперконформной группе Xoy и Так-кера [7].
Из вида преобразования суперполя R (5.2) ясно, что связь R = 0 дополнительна по отношению к связи Ta = 0 в том смысле, что она фиксирует киральную часть супергруппы Вейля. В дальнейшем мы сначала обсудим этот представитель (п = = —1) класса связей (2.56), после чего вернемся к общему классу. Киральная часть суперполевого параметра L может быть использована для того, чтобы найти калибровку, в которой R равно нулю. Тогда остающаяся группа инвариантности связей первых двух типов совместно с R = 0 есть версия суперконформной инвариантности в суперпространстве, параметром которой является S, линейная часть L, т. е.
ZDaZDaS = O. (5.7)
Уравнение (5.7) — подходящее условие для того, чтобы сделать 5 линейным, так как теперь R = 0. Обратный репер преобразуется следующим образом:
б EaM = SEaM. (5.8)
Преобразование (5.8) принадлежит суперконформной группе Зигеля [8].
До сих пор мы рассматривали связь (1.56) только для частного значения п = —1. Для понимания происхождения членов ZDaTa и TaTa для других значений п полезно ввести понятие супервейлевской ковариантности. Если мы имеем некоторое поле материи с супервейлевским законом преобразования
6Ф = Я,(21 + Г)Ф, (5.9)
где X — некоторое число, то можно поставить вопрос: возможно ли построение супервейлевской ковариантной производной для Ф? Возвращаясь к закону преобразования для Ta (5.1), мы ви-
9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 183
дим, что он преобразуется в точности таким способом, что можно построить связность для поля Ф, преобразующегося по (5.9), так что выражение
<2)аФ = (SZ)a +XTa) Ф (5.10)
супервейлевски ковариантно.
Закон преобразования (5.9) не является наиболее общим среди допускаемых супергруппой Вейля. В общем случае отношение LkL* может быть произвольным в соответствии с отсутствием связи между дилатационным и киральным весами. К сожалению, не имеется простой алгебраической функции кручения и кривизны, которая могла бы быть использована как связность для комбинаций киральных и дилатационных преобразований, независимо от данной в уравнении (5.9). Несмотря на это, в теории существуют объекты, которые, хотя и не являются связностями, но преобразуются через независимые комбинации L и L*. Например, вариация R (5.2) содержит только параметр L. Один из способов рассмотрения таких вопросов включает решение кинематических связей и построение независимой связности с использованием комплексного скалярного поля гр [4,8], которое фигурирует в решении. С другой стороны, можно с самого начала ввести независимые суперполе-вые связности для дилатаций и киральных суперпреобразований Вейля, а затем приступить к нахождению связей первого и второго типов для этого более широкого набора. Это будет сделано в отдельной публикации [15]. Возвращаясь к полям, преобразующимся по (5.9), мы находим, что определение ки-рального поля, ковариантное относительно супергруппы Вейля, записывается теперь в виде
