Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Вступительная статья редактора перевода 13
вые нужно выбирать очень специальным образом, и этот выбор крайне неоднозначен. Напротив, любому монопольному решению уравнения автодуальности такая кривая отвечает вполне однозначно. Именно, фиксируем пространственное сечение R3 с: с Ri и рассмотрим многообразие ориентированных прямых в нем. Параметризуя прямую ее направлением и вектором расстояния до начала, мы без труда обнаруживаем, что это многообразие есть комплексная алгебраическая поверхность — касательное расслоение к CP1. Теперь рассмотрим вдоль каждой прямой связность, отвечающую данному монополю, и построим множество тех прямых, над которыми эта связность допускает горизонтальное сечение, интегрируемое с квадратом. Оно является алгебраической кривой, и соответствующий анзац Атьи — Уорда дает исходный монополь. В работе Нама [18] к задаче конструкции монополей для любой простой компактной группы применяется техника, успешно использованная в теории инстантонов.
8. Твисторное преобразование: неавтодуальный случай. Здесь по-прежнему G = SL (4, С), M=F (2; Т), F = F (1, 2, 3; Т), L = F( 1,3; Т). На M эта структура является 1-конформной, что не приводит ни к каким уравнениям типа гравитации. Преобразование Пенроуза можно провести над любым полем Янга — Миллса и получить голоморфное расслоение над областью в L с: CP3 X CP3 = F(I) T)YF( 3; Т): Способ закодировать вакуумные уравнения Янга—Миллса в терминах расслоения El был предложен независимо в работах Айзенберга, Грина, Яс-скина (см. [5]) и Виттена [22]: выполнимость этих уравнений равносильна возможности продолжить El на третью инфините-зимальную окрестность L. Развитие этой идеи привело к установлению того, что динамические уравнения полного лагранжиана Янга — Миллса с массивными фермионами и полями Хиггса допускают аналогичное перекодирование [20]. Недавно эту технику удалось использовать для конструкции новых точных решений классических уравнений.
В работе Виттена [22] содержится также предложение использовать аналогичное суперсимметричное преобразование. В рамках нашей конструкции это выглядит так.
9. Суперсимметричные ^-конформные структуры. По-преж-нему ограничиваясь комплексными супергруппами, рассмотрим два способа вводить фермионные координаты на пространствах предыдущего пункта: они отвечают группам GL(4|iV) и Р(3) (в обозначениях работы [46] последняя группа есть группа симметрий нечетной антисимметричной формы на C4'4).
Первому способу отвечает пространство суперфлагов M = = T7(210, 21A^; C4|W). В силу этой реализации на M есть несколько интересных d-конформных- структур. Для первой из них T7 = .F(l |0, 2[0, 2[N, 3\N) C4I"), L* = ^(1|0, 31AT; C4I");
14 Ю. И. Манин
здесь d = 1|2УУ. Нулевые геодезические приобретают 2N дополнительных фермионных измерений, в силу чего условия интегрируемости вдоль них перестают быть тривиальными и при N = 3, 4 в существенном совпадают с суперсимметричными уравнениями Янга — Миллса на М. Обычные вакуумные уравнения Янга — Миллса являются редукциями этой большой системы, отвечающей нулевым значениям всех лишних компонент суперполя. На языке пространства нулевых супергеодезических Ln это отвечает тому, что L3 допускает проекцию на третью инфинитезимальную окрестность L.
Еще одна d-конформная структура на M получается с использованием двух проекций: M-+F(210; C4'") = Ml и M -> -*~F(2\N; C4I") = Mr. Размерность слоев этих проекций равна 012АГ; таким образом, в каждой точке M заданы два 0|2АҐ-мер-ных касательных пространства. При N = I интегрируемое искривление этой структуры локально равносильно реализации M в качестве кривого вложения в MlY Mr, т. е. заданию препотен-циала Жт по Огиевецкому — Сокачеву [28—31] и Зигелю — Гэйтсу. Дополнительное условие интегрируемости нулевых супергеодезических, т. е. 1 |2-конформной структуры, производной от исходной, ведет к условиям на Жт, связь которых с динамическими уравнениями N= 1-супергравитации еще подлежит исследованию.
Интегрируемость суперполя Янга — Миллса вдоль этой 012-структуры равносильна положению связей Fa^ = F^ = 0.
Использование группы Р(3, С) в качестве основной группы суперсимметрии приводит к M = FI{212, C4I4) (пространство изотропных 212-плоскостей в супервекторном пространстве с нечетной антисимметричной формой) и к IJ 1-конформной структуре на М, отвечающей T7=Zr/(111, 2(2; C4I4) и L=.F/(1 ] I, C4I*). Можно надеяться, что ее будет легче применить к изучению обычного вакуумного уравнения Янга — Миллса, поскольку геометрия здесь обладает значительным сходством с геометрией автодуальной (несуперсимметричной) ситуации. В применении к самому пространству-времени M эта структура обладает необычными свойствами, поскольку ее нечетные координаты с точки зрения предстаівлений группы Лоренца являются бозонами: они образуют SL (2)/.-триплет и SL(2) r-синглєт. Для введения полуцелых спинов следует использовать суперспинорное расслоение, которое здесь имеет размерность 212: нарушение пространственной четности сказывается в том, что обычные левые и правые спиноры входят в это объединенное расслоение с противоположной «внутренней» четностью. Конечно, можно написать соответствующее суперсимметричное уравнение Дирака и т. п. Искривление этой картины приводит к экзотической модели супергравитации с нарушенной пространственной четностью.
