Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинг С. -> "Геометрические идеи в физике" -> 4

Геометрические идеи в физике - Хокинг С.

Хокинг С., Прасад М., Гиббонс Г., Феррара С. Геометрические идеи в физике — М.: Мир, 1983. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): geometricheskieidei1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 90 >> Следующая

Вступительная статья редактора перевода 11

отображение F-+-LY, M было замкнутым вложением супермногообразий.)

Искривлением плоской d-конформной структуры G/Hf—^ -+G/Нм называется такое отображение F-+-M, которое в каждой точке устроено так же, как соответствующее плоское.

Пусть, например, G = SO(п, 2), п ^ 2; выберем в пространстве T фундаментального представления G изотропный (1, 2)-флаг, т. е. нулевой луч, содержащийся в нулевой плоскости. Обозначим через Нм, Hl, Hf малые группы луча, плоскости и всего флага соответственно. Здесь d = 1, и наша 1-конформная структура на квадрике M = G/HM есть обыкновенная конформная метрика, заданная конусами нулевых направлений в каждой точке. Искривлением плоской 1-конформной структуры будет обычная конформная структура.

Заметим, что при d, = 1 нетривиальных условий интегрируемости нет. При п = 4, d = 2 в комплексном пространстве-времени с конформной структурой можно, однако, определить две разные 2-конформные структуры и связности, отвечающие двум системам нулевых плоскостей в касательном пространстве каждой точки. Интегрируемость 2-связности, отвечающей любой из них, есть условие автодуальности (или антиавтодуальности) конформной метрики, определяющее нелинейные гравитоны Пенроуза.

Опишем более детально несколько основных примеров. Для краткости будем работать лишь с комплексными группами. Чтобы получить вещественные пространства с метрикой лоренцевой или евклидовой сигнатуры, следует перейти к их вещественным формам.

7. Твисторное преобразование: автодуальный случай. Положим G = SL(4, С), T = Ci — пространство фундаментального представления G, M = G/HM = F(2, Т) — грасманиан двумерных подпространств в Т\ F = F(I, 2; T) — пространство (1, 2)-флагов в Т. Здесь T — твисторное пространство Пенроуза, M — компактная комплексная модель пространства Минковского; она содержит одновременно вещественное пространство Минковского, пополненное бесконечно удаленным световым конусом, и евклидово сечение S4, пополненное бесконечно удаленной точкой. Обычная конформная структура на M определяется тем, что M допускает вложение в виде квадрики Плюккера в С6-про-странстве бивекторов Т. Плоская 2-конформная структура определяется проекцией F = F{I, 2; T)-*-L = F(I, T) = CP3) здесь L — проективное твисторное пространство.

Искривленная 2-конформная структура с интегрируемой

2-конформной связностью на многообразии M— это геометрическое описание комплексного решения уравнений Эйнштейна с космологической константой и антиавтодуальным тензором Вейля. Соответствующие кривые твисторные пространства L
12 Ю. И. Манин

можно строить как деформации областей, заметаемых комплексными прямыми, б CP3 (см. [5, 6]).

Помимо проблематичной роли таких пространств в качестве квантовых нелинейных гравитонов имеется весьма интересная и нетривиальная их интерпретация в общей теории относительности, где они возникают как ,^-пространства [26, 27], связанные с гравитирующей нестационарной изолированной системой. Известно, что при наличии выходящего гравитационного излучения соответствующее пространство хотя и является асимптотически плоским, но его кривизна вдоль нулевых направлений будущего спадает слишком медленно, чтобы можно было определить асимптотическую группу Пуанкаре. Вместо этого можно попытаться охарактеризовать асимптотическое поведение гравитационного поля системой «хороших сечений» комплексифи-цированной будущей нуль-бесконечности CJ+. В плоском случае это просто сечения бесконечно удаленного светового конуса конусами конечных точек, так что пространство таких сечений есть пространство Минковского. В асимптотически плоском случае эти сечения характеризуются обращением в нуль асимптотического комплексного шира (shear), и их система представляет собой комплексное автодуальное 5^-пространство.

Большей популярностью пользуются евклидовы автодуальные поля Янга—Миллса на Ri, в частности два их класса, различающиеся асимптотическими условиями, — инстантоны и мо-нополи. Их описание и обсуждение физического смысла можно найти в статье 3 этого сборника, принадлежащей Прасаду. Уравнение автодуальности Fliv = ^Fliv равносильно интегрируемости связности A11 вдоль одной из двух систем нулевых поверхностей в комплексификации Ri, и любое его решение кодируется по Атье и Уорду голоморфным векторным расслоением над пространством нулевых поверхностей в L, которое является некоторой областью в CP3, в частности всем CP3 для инстантонов и CP3 — CP1 для монополей. Слоем этого расслоения является пространство горизонтальных сечений векторного расслоения, на котором A ^ является связностью.

К моменту, когда был написан обзор Прасада, конструкция всех таких расслоений была проведена алгебро-геометрическими средствами для инстантонов, но для монополей с произвольным топологическим зарядом эта задача оставалась открытой. В самое последнее время в ней произошел решительный сдвиг (см. работы [15—18]). Особенно прояснила структуру Sf/(2)-MOHO-полей работа Н. Хитчина [17]. Оказалось, что анзац Атьи — Уорда (см. статью Прасада), не давший удачных результатов в теории инстантонов, очень хорошо приспособлен для монополей. Дело в том, что настоящим геометрическим параметром в таком анзаце является некоторая алгебраическая кривая в CP3. Для удовлетворения инстантонных граничных условий эти крн-
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 90 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed