Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
^S=-JftfodalnO, (6.3.1)
где Ф — произвольная функция Xtl. Используя равенство
(6.1.17), калибровочное поле для (6.3.1) можно записать в
виде
па __ -а 1 Г(дуддФ) _ „ (дуФ) (<ЭдФ) ~|
TtiV ф Ф2 J
-а 1 Г^аФ) 0(^Ф)(ваФ)-| _а 1 ґд0Ф\ґд0Ф\
- Y[~ф--------2----^----J + TЬф~А~ф-)¦
(6.3.2)
На этом этапе далеко не очевидно, как поле (6.3.2) может быть автодуальным по индексам ц и v. Требование автодуальности поля (6.3.2) в силу (6.1.26) равносильно требованию
%iv^Vv = 0. (6.3.3)
Если использовать равенство (6.1.16), то требование (6.3.3) сводится к простому уравнению для Ф
? Ф = O (? =3^). (6.3.4)
Таким образом, если Ф удовлетворяет уравнению (6.3.4), то гарантируется автодуальность калибровочного поля (6.3.2). т’Офт выбрал следующее решение уравнения (6.3.4):
Я 2
ф-'<6-3-5*
Решение (6.3.5) определено только при х ф X1 (j = I, 2, ..., q). При X-*-Xj функция Ф становится сингулярной:
<6-3б>
Ho особенность (6.3.6) является чисто калибровочным артефактом! Чтобы убедиться в этом, вычислим калибровочный потенциал (6.3.1) в матричной форме вблизи особенности (6.3.6):
2(х — х/)а
А> fW17=-#= (6-3-7)
= U[%Uh (6.3.8)
82 М. К. Прасад
где
T1 __ (х х0р + /с о п\
‘— /; - 1 1 TfqrIi ' (6.3-9)
V(* — Xf)2
Сравнивая (6.3.8) с (3.10), мы видим, что Z7tiv обращается в нуль в особой точке (6.3.6), таким образом, эта особенность является чисто калибровочным артефактом, не отражающим никакой физической реальности. Используя уравнение (6.3.4), плотность действия можно привести к следующему виду:
+ -J- /7SvZ7Sv = - О О In ф. (6.3.10)
Подставляя (6.3.5) в (6.3.10), интегрируя по 4-мерному евклидову пространству и исключая особые точки (6.3.6) из области интегрирования, чтобы можно было применить теорему Гаусса, получим функционал действия
S = -^g- (6.3.11)
Таким образом, мы имеем явную реализацию инстантонов для произвольного q. Из равенств (6.3.10) и (6.3.5) очевидно, что плотность действия зависит только от 5q параметров, которые можно интерпретировать как параметры положения и масштаба для каждого отдельного <?-инстантона. Так как число параметров меньше чем (8^ — 3), решение т’Офта не может быть полным инстантонным решением. Полное инстантонное решение реализуется в конструкции Атьи — Дринфельда — Хит-чина— Манина (АДХМ), которую мы опишем ниже.
6.4. Конструкция Атьи — Дринфельда — Хитчина — Манина (AflXMJ
Конструкция АДХМ начинается с прямоугольной матрицы М(х) порядка (?7 + 1)Х составленной из кватернионов. Это значит, что элемент Mjk матрицы M может быть записан в виде матрицы второго порядка
Mjk = М%о?. (6.4.1)
Здесь Mfk — действительные числа. Матрица M выбирается линейно зависящей от х
M = B-Cx, (6.4.2)
где
В, С — не зависящие от Xll прямоугольные кватернионные матрицы порядка (^+1)Х? (6.4.3)
JC=S=ATtiOr^. (6.4.4)
3. Инстантоны и монополії в теориях калибровочных полей
83
Наконец, предполагается, что М(х) удовлетворяет нелинейному требованию
M+ (jc) M (х) S= R= (6.4.5)
= действительная невырожденная матрица q-го порядка. (6.4.6)
Чтобы построить автодуальное калибровочное поле, необходимо найти (? + 1) -мерный вектор-столбец N(x), такой, что
W+ (jc) AT (X) = O1 (6.4.7)
N+(x) N(x) = I. (6.4.8)
Линейное уравнение (6.4.7) может рассматриваться как q ква-тернионных условий на 9+1 элемент N. Таким образом, решение N(x) уравнения (6.4.7) всегда может быть найдено, а
требование (6.4.8) просто фиксирует его нормировку.
Калибровочный потенциал в конструкции АДХМ определяется следующим образом:
Avl(X) = N+(х)д^(х). (6.4.9)
Дифференцирование равенства (6.4.8)
N+(x)dVLN(x)=-(dtlN+(x))N(x) (6.4.10)
показывает, что Avl в равенстве (6.4.9) является антиэрмитовой бесследовой матрицей второго порядка.
Покажем теперь, что калибровочное поле Fiiv, построенное по калибровочному потенциалу (6.4.9), является явно автодуальным
Ftiv = OilAv + AilAv -(n-^*v) = (6.4.11)
= ^vtN+) (dvN) + (N+OvtN) (N+dvN) - (ц ^ v) = (6.4.12)
= ^vtN+) {/ - NN+) (dvN) - (ц v). (6.4.13)
В равенстве (6.4.13) / — единичная матрица (q + 1)-го порядка. Выражение в фигурных скобках в (6.4.13) является просто проекционным оператором на ^-мерное кватернионное подпространство, ортогональное N. Используя уравнения (6.4.7) и (6.4.5), это выражение можно записать в виде матрицы (q + 1)-го порядка:
/ _ NN+ = M (х) R-1 (jc) Af+(X), (6.4.14)
где R~l — матрица q-го порядка, обратная действительной матрице R.
Дифференцирование уравнения (6.4.7) дает
(OvtN+ (jc)) M(X) = -N+ WvtM (х)), (6.4.15)
84 Af. К. Прасад
так что Fliv можно записать в виде
Ftiv = M+ (<VW) R'1 (dvM+) N-(n^v)= (6.4.16)
= N^C {e?R- 1Crv - or+/?~ 1OrtJC+Af = (6.4.17)
= - AN+C^vR-iC+N, (6.4.18)
т. е. в силу (6.1.5) калибровочное поле явно автодуально. Переходя от равенства (6.4.17) к равенству (6.4.18), мы использовали тот факт, что R является действительной матрицей, коммутирующей с огд: [/?, Orti] = 0.
Конструкция АДХМ дает полное (8q — 3)-параметрическое инстантонное решение с действием S = (8л2fg2)q. Доказать это довольно сложно, и мы даем читателю ссылки на литературу для более подробного ознакомления.
