Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинг С. -> "Геометрические идеи в физике" -> 31

Геометрические идеи в физике - Хокинг С.

Хокинг С., Прасад М., Гиббонс Г., Феррара С. Геометрические идеи в физике — М.: Мир, 1983. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): geometricheskieidei1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 90 >> Следующая

78 М. К- Прасад

6. Явные инстантонные решения

Данный раздел подразделяется на четыре подраздела. В первом подразделе мы вводим тензоры т’Офта Tj и г\ вместе с различными тождествами, которым они удовлетворяют. Тензоры г) и ті особенно полезны для построения явных инстантонных решений. Далее мы представляем исходное инстантонное решение Белавина — Полякова — Шварца — Тюпкина (БПШТ) для q = 1 и обсуждаем различные его особенности. В третьем подразделе мы объясняем анзац Корригана — Фэрли — т’Офта — Вилчека (КФТВ), приводящий к инстантонным решениям для произвольного целого q. Здесь же мы описываем различные свойства решения т’Офта, в частности почему оно не является полным решением. Последний подраздел посвящен конструкции Атьи — Дринфельда — Хитчина — Манина (АДХМ), которая

дает полные инстантонные решения для произвольного q.

6.1. Тензоры т’Офта г) и г)

Определим следующие четыре вектора:

(I при JJ- = 4, + ( / при 1-1 = 4,

^ — t«Xе при (i = a= 1, 2, 3, ^ — ioa при (і = а= 1, 2, 3,

(6.1.1)

где /— единичная матрица второго порядка, a Ga — матрицы Паули (3.20). Используя уравнение (3.21), мы находим

or^v + tfvffti = ^^+ ffv<*n =2/6^. (6.1.2)

Тензоры т’Офта г] и fj мы определим следующим образом:

= — -J (<СOfv — Ov 0Гц). (6.1.3)

Tinv = — -J (оГцоС — OfVcrJ). (6.1.4)

Существенное свойство тензоров ті и ті, вытекающее из уравнения (3.21), заключается в том, что они авто- и антиавтодуальны соответственно:

Tlnv = ~2 etivA.p%p — Лцу» (6.1.5)

Tinv 2~ e^vXpTiipTinv (6.1.6)

Тензоры TitiV и Titiv являются антиэрмитовыми бесследовыми матрицами второго порядка и, таким образом, могут быть записаны как линейные комбинации матриц Паули аа:

Cl

1ItiV — TltiV ~2f > lHtiv — Tinv "27• I
3. Инстантоны и монополії в теориях калибровочных полей

79

где тензоры TiSv и имеют только действительные компоненты. Используя уравнение (3.21), т’Офт получил ряд очень полезных тождеств, которым подчиняются г\ и г\. Вот некоторые из них

1Vv= "2 eHvap1Iap, lHlivlr= jji" SiivaplHapi (6.1.8)

TliiV 1Iviii lHixv= : iHvhi (6.1.9)

lHiiV1HiiV == lHliV1HliV == 4бай, (6.1.10)

lHlivlHlia=rllHlivlHlia = SSval (6.1.11)

lHuvlHiiv == lHiivlHiiv = 12, (6.1.12)

lHiiV1HaP = S^oSvP 6(ip6va ”Ь ®iiva0i (6.1.13)

lHliV1HaP = StiaSvp 6(ip6va 6|ivap (6.1.14)

lHiiV1Hlia =: SafrSva ”b Sabc1Hvai (6.1.15)

lHliV1Hlia Sai>Sva ”b &abclHvai (6.1.16)

Saftc1IiiV1HaP= Slia1HvP ^p1Hva Sva1HiiP ”b Svp1Hiiai (6.1.17)

Sasc1HliV1Hap = Siia1HvP SiiP1Hva Sva1HuP "b SvplHjiai (6.1.18)

lHliV1HliV == lHlivlHlia==lHiialHliv- (6.1.19)

Любой антисимметричный тензор Ttiv = —Tvti может быть

записан как сумма автодуальной и антиавтодуальной частей:

TVv ^-Tvvl ^ j (Tvlv + mTviv) + і (TVv - TVv), (6.1.20)

где 'Tti3l ® у WV P- (6-1-21)

Комбинации (TtiViiltTiiv) могут быть также записаны следую-

щим образом:

Tvlv ± Tvlv = (StiaSyg StiPSv(IistiVaP)TaP= (6.1.22)

ssP iivapTap. (6.1.23)

Равенство (6.1.23) определяет проектор Р(±) на автодуальную (+) и антиавтодуальную (—) части. Из равенств (6.1.13) и

(6.1.14) следует

^ilvaP = ~2 lHiiV1HaPi PIivaB =~2 lHliV1HaP* (6.1.24)
80 М. К. Прасад

Если тензор T является автодуальным, то

T1tiv= TtiV TjtivЛсфТ’ар = 0. (6.1.25)

Умножая равенство (6.1.25) на fj?v и используя равенство

(6.1.10), получаем

TtIV — iTtiv -«=>- ЛарГар = 0. (6.1.26)

6.2. Исходное инстантонное решение Белавина — Полякова — Шварца — Тюпкина для д — 1

Инстантонное решение БПШТ для q — 1 представляется следующим образом:

А‘» = 1 Ir +V'• - U(X-X0)r, (6.2.1)

где (ATo)v и X— пять свободных параметров, связанных с положением и масштабом инстантона соответственно. Используя равенство (6.1.17), калибровочное поле для (6.2.1) можно записать в виде

F% = — - [(* - Xo)2 + Я2]2 ; (6.2.2)

в силу (6.1.5) оно, очевидно, является автодуальным. Функционал действия S для поля (6.2.2) легко вычислить и представить в виде

S = (6.2.3)

Таким образом, мы имеем явную реализацию инстантонного решения для <7=1, зависящую от пяти параметров. Действительно, с помощью теории деформации можно показать, что

если существует SU(2)-инстантонное решение стопологическим зарядом <7, то плотность действия (т. е. /7SvFjIv) должна зависеть по крайней мере от (8<7 — 3) параметров: 5q параметров определяют положение и масштаб каждого одиночного <7-инстан-тона, 3<7 набираются из трехпараметрической калибровочной SU(2)-ориентации для каждого из q инстантонов, а глобальные калибровочные SU(2) -преобразования являются несущественными, поэтому вычитается З1). Эти (8q — 3) параметров являются по существу «степенями свободы» инстантонных решений.

') Это описание приближенно оправдывается для систем малых инстантонов, далеко отстоящих друг от друга, но теряет смысл для общего ^-ин-стантонного решения. — Прим. ред.
3. Инстантоны и монополії в теориях калибровочных полей

SI

6.3. Анзац Корригана — Фэрли — т’Офта — Вилчека (КФТВ) и решение т’Офта

Анзац КФТВ дается в следующем виде:
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 90 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed