Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
78 М. К- Прасад
6. Явные инстантонные решения
Данный раздел подразделяется на четыре подраздела. В первом подразделе мы вводим тензоры т’Офта Tj и г\ вместе с различными тождествами, которым они удовлетворяют. Тензоры г) и ті особенно полезны для построения явных инстантонных решений. Далее мы представляем исходное инстантонное решение Белавина — Полякова — Шварца — Тюпкина (БПШТ) для q = 1 и обсуждаем различные его особенности. В третьем подразделе мы объясняем анзац Корригана — Фэрли — т’Офта — Вилчека (КФТВ), приводящий к инстантонным решениям для произвольного целого q. Здесь же мы описываем различные свойства решения т’Офта, в частности почему оно не является полным решением. Последний подраздел посвящен конструкции Атьи — Дринфельда — Хитчина — Манина (АДХМ), которая
дает полные инстантонные решения для произвольного q.
6.1. Тензоры т’Офта г) и г)
Определим следующие четыре вектора:
(I при JJ- = 4, + ( / при 1-1 = 4,
^ — t«Xе при (i = a= 1, 2, 3, ^ — ioa при (і = а= 1, 2, 3,
(6.1.1)
где /— единичная матрица второго порядка, a Ga — матрицы Паули (3.20). Используя уравнение (3.21), мы находим
or^v + tfvffti = ^^+ ffv<*n =2/6^. (6.1.2)
Тензоры т’Офта г] и fj мы определим следующим образом:
= — -J (<СOfv — Ov 0Гц). (6.1.3)
Tinv = — -J (оГцоС — OfVcrJ). (6.1.4)
Существенное свойство тензоров ті и ті, вытекающее из уравнения (3.21), заключается в том, что они авто- и антиавтодуальны соответственно:
Tlnv = ~2 etivA.p%p — Лцу» (6.1.5)
Tinv 2~ e^vXpTiipTinv (6.1.6)
Тензоры TitiV и Titiv являются антиэрмитовыми бесследовыми матрицами второго порядка и, таким образом, могут быть записаны как линейные комбинации матриц Паули аа:
Cl
1ItiV — TltiV ~2f > lHtiv — Tinv "27• I
3. Инстантоны и монополії в теориях калибровочных полей
79
где тензоры TiSv и имеют только действительные компоненты. Используя уравнение (3.21), т’Офт получил ряд очень полезных тождеств, которым подчиняются г\ и г\. Вот некоторые из них
1Vv= "2 eHvap1Iap, lHlivlr= jji" SiivaplHapi (6.1.8)
TliiV 1Iviii lHixv= : iHvhi (6.1.9)
lHiiV1HiiV == lHliV1HliV == 4бай, (6.1.10)
lHlivlHlia=rllHlivlHlia = SSval (6.1.11)
lHuvlHiiv == lHiivlHiiv = 12, (6.1.12)
lHiiV1HaP = S^oSvP 6(ip6va ”Ь ®iiva0i (6.1.13)
lHliV1HaP = StiaSvp 6(ip6va 6|ivap (6.1.14)
lHiiV1Hlia =: SafrSva ”b Sabc1Hvai (6.1.15)
lHliV1Hlia Sai>Sva ”b &abclHvai (6.1.16)
Saftc1IiiV1HaP= Slia1HvP ^p1Hva Sva1HiiP ”b Svp1Hiiai (6.1.17)
Sasc1HliV1Hap = Siia1HvP SiiP1Hva Sva1HuP "b SvplHjiai (6.1.18)
lHliV1HliV == lHlivlHlia==lHiialHliv- (6.1.19)
Любой антисимметричный тензор Ttiv = —Tvti может быть
записан как сумма автодуальной и антиавтодуальной частей:
TVv ^-Tvvl ^ j (Tvlv + mTviv) + і (TVv - TVv), (6.1.20)
где 'Tti3l ® у WV P- (6-1-21)
Комбинации (TtiViiltTiiv) могут быть также записаны следую-
щим образом:
Tvlv ± Tvlv = (StiaSyg StiPSv(IistiVaP)TaP= (6.1.22)
ssP iivapTap. (6.1.23)
Равенство (6.1.23) определяет проектор Р(±) на автодуальную (+) и антиавтодуальную (—) части. Из равенств (6.1.13) и
(6.1.14) следует
^ilvaP = ~2 lHiiV1HaPi PIivaB =~2 lHliV1HaP* (6.1.24)
80 М. К. Прасад
Если тензор T является автодуальным, то
T1tiv= TtiV TjtivЛсфТ’ар = 0. (6.1.25)
Умножая равенство (6.1.25) на fj?v и используя равенство
(6.1.10), получаем
TtIV — iTtiv -«=>- ЛарГар = 0. (6.1.26)
6.2. Исходное инстантонное решение Белавина — Полякова — Шварца — Тюпкина для д — 1
Инстантонное решение БПШТ для q — 1 представляется следующим образом:
А‘» = 1 Ir +V'• - U(X-X0)r, (6.2.1)
где (ATo)v и X— пять свободных параметров, связанных с положением и масштабом инстантона соответственно. Используя равенство (6.1.17), калибровочное поле для (6.2.1) можно записать в виде
F% = — - [(* - Xo)2 + Я2]2 ; (6.2.2)
в силу (6.1.5) оно, очевидно, является автодуальным. Функционал действия S для поля (6.2.2) легко вычислить и представить в виде
S = (6.2.3)
Таким образом, мы имеем явную реализацию инстантонного решения для <7=1, зависящую от пяти параметров. Действительно, с помощью теории деформации можно показать, что
если существует SU(2)-инстантонное решение стопологическим зарядом <7, то плотность действия (т. е. /7SvFjIv) должна зависеть по крайней мере от (8<7 — 3) параметров: 5q параметров определяют положение и масштаб каждого одиночного <7-инстан-тона, 3<7 набираются из трехпараметрической калибровочной SU(2)-ориентации для каждого из q инстантонов, а глобальные калибровочные SU(2) -преобразования являются несущественными, поэтому вычитается З1). Эти (8q — 3) параметров являются по существу «степенями свободы» инстантонных решений.
') Это описание приближенно оправдывается для систем малых инстантонов, далеко отстоящих друг от друга, но теряет смысл для общего ^-ин-стантонного решения. — Прим. ред.
3. Инстантоны и монополії в теориях калибровочных полей
SI
6.3. Анзац Корригана — Фэрли — т’Офта — Вилчека (КФТВ) и решение т’Офта
Анзац КФТВ дается в следующем виде: