Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
75
(АДХМ) для любого q. АДХМ-конструкция была получена с использованием современной математики — дифференциальной и алгебраической геометрии, математики, слишком сложной для большинства физиков. Парадоксально, что АДХМ-конструкцию очень трудно получить, но очень просто описать, как мы увидим в разд. 6.
5. Точное определение монополей
Для монополей калибровочные поля являются статическими, в смысле равенства (3.6). В случае монополей полезно работать с компонентами калибровочного потенциала и напряженностей. Если ввести два векторных поля Bi и определяемых следующим образом (a, k = 1, 2, 3):
Bak = J HimFaim = \ zklm IdlAam - дтАЇ + 8гаЬсАЇАш\, (5.2)
Е = ±\ (d3x) FavFav = I J [d3x) [BakBak + EakEak] = (5.3)
= у 5 U8*) К# - ЇЇ) № - ЇЇ)] + J (d3x) BakEak > (5.4)
Знак равенства в (5.5) достигается только тогда, когда Bk = Ek. Последнее равенство является в точности уравнением автодуальности FlIv = tFliv для статических калибровочных полей.
Подынтегральное выражение в (5.5) может быть приведено к следующему виду:
BakEak s dk [BlAak) - Aai [д%В1 + §гаЬсAbkBl] = д„ [BakAai). (5.6)
Второе тождество в (5.6) следует из статического случая тождества Бьянки (равенство (3.16)).
Тождество (5.6) позволяет преобразовать интеграл в (5.5) в поверхностный интеграл с помощью теоремы Гаусса
Eak = Fak4 = dkAt + gsabc AbkAl
(5.1)
то функционал энергии принимает вид
(5.5)
[d3x] BlEak= Ііш \ [O2(Jk)BlAai,
(5.7)
где интеграл в правой части берется по сфере
S2: XkXk = х\-\- xt + хз = г2.
(5.8)
76 М. К¦ Прасад
Используя теорему Гаусса, мы неявно предполагаем функционал энергии E конечным. Это в свою очередь означает, что
при г ^ ос-. Fkt = О «ЧИСТАЯ КАЛИБРОВКА»=>Ak = U~lOkU,
(5.9)
при г -> со: OkAf + gzabc AbkAc = 0. (5.10)
Здесь мы использовали равенства (3.10); U — любая унитарная матрица второго порядка с определителем, равным единице. Умножая равенство (5.10) на Af и используя антисимметричность тензора гаьс, получаем Ok (AfAf) = 0, так что
при r-> оо; Af=-------Фа, где ФаФа=1, с = const ^ 0.
(5.11)
Конкретная комбинация констант (—c/g) в равенстве (5.11), где g—калибровочная константа связи, выбирается из соображений дальнейшего удобства. Используя (5.11), можно разрешить равенство (5.10) относительно Al'.
при г —> оо; Aak = -J гаЬсФь (OkOc) + Ф° (AbkOb). (5.12)
Подстановка равенства (5.12) в (5.2) дает Bk при г-»-оо; используя (5.11), мы находим
при г-> оо: BakA? = ^ZabcZkimOa(OlOb) (OmOc) - ^zkimOi(AbmOc).
(5.13)
/ 2 2 2 2 2^
Сфера [Sr: XkXk = лгі + *2 + *з = г $ может быть параметризована двумя параметрами \а (а = 1, 2): лг* = лг*(|а). Используя равенства (2.13) и (2.15) при M = 3, получаем элемент площади d2Ok в виде
((Pak) = { zklm Zafi т, (5.14)
так что равенство (5.7) принимает вид
[(d3x) BakEak = + ір-Д™ (d\). (5.15)
г*~4
При выводе равенства (5.15) мы использовали обращение теоремы Гаусса
lira J (АО ZklmOl (AbmOc) = [ (d3x) ZklMi (AbmOc) в 0.
Г OO J J
4
(5.16)
3. Инстантоны и монополії в теориях калибровочных полей
77
Легко проверить, что подынтегральное выражение в правой ча-сти равенства (5.15) удовлетворяет следующему тождеству:
гл 4detf-^-4ai=
L Р діа J L д| <5| J
= 4 [определитель Ig'aftl метрического тензора gab на единичной сфере ФаФа = (ф1)2 + (Ф2)2 + (Ф3)2 = 1 ]. (5.17)
Следовательно, мы имеем
\ (d\) BakEak = Iim \ Ш л/ГІІГГ = ¦Я, (5.18)
J S Г -> OO J S
Sr
q — топологический заряд = O,' 1, 2, ..., так как, в то время как точка (?i, ?2) пробегает по сфере Sj один раз, вектор Фа пробегает единичную сферу фафа = ф'ф‘ +
г* 2 2 л зл 3
+ ФФ +ФФ =1 q раз, давая каждый раз вклад в виде трехмерного телесного угла ^ (d21) = 4л.
Таким образом, используя равенства (5.5) и (5.18), мы устанавливаем следующее неравенство для функционала энергии E:
E>^q, <7 = 0, 1, 2, где Iim «*-?¦. (5.19)
S г -> оо о
Равенство достигается только для статических автодуальных полей Bk = El- Топологический заряд q в случае монополей называется магнитным зарядом. Неравенство (5.19) показывает, что для любого данного q статические автодуальные калибровочные поля доставляют абсолютный минимум функционалу энергии Е.
Вопрос о том, достижимо ли равенство E = (4nc/g2)q, представляет собой динамическую, а не топологическую проблему и требует построения явных решений уравнений автодуальности Bi = Ei, а для нетривиальных решений с ФОФ q. Решение для магнитного заряда q = 1 было дано Прасадом и Зоммер-фельдом. До сих пор никому не удалось построить явные монопольные решения для магнитного заряда <7>1; в действительности не известно, существуют ли вообще такие решения. Мощные методы дифференциальной и алгебраической геометрии, такие полезные для инстантонов, кажутся неприменимыми к монополям. В разд. 7 дается монопольное решение для <7=1, а в разд. 8 обсуждаются попытки построения многомонопольных решений для <7 > 1 ').
!) Как указано во вступительной статье, сейчас известны и теоремы существования, н методы построения всех многомонопольных решений алгеброгеометрическими средствами. — Прим. ред
