Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
В статьях Прасада и Гиббонса сделан обзор известных классических решений нелинейных уравнений Янга — Миллса и Эйнштейна, которые принадлежат к инстантонному типу. Заметим, что гравитационные инстантоны — это римановы многообразия, удовлетворяющие обычному уравнению Эйнштейна, а
Вступительная статья редактора перевода 9
не автодуальному. (Автодуальные комплексные пространства Эйнштейна ввел Пенроуз под названием «нелинейных гравитонов».) Инстантоны Янга — Миллса, напротив, автодуальны.
Остальные статьи сборника, составляющие несколько больше половины его объема, посвящены суперсимметрии и супергравитации. Из обширной, насчитывающей уже около тысячи работ журнальной литературы выбрано несколько статей разных жанров. Обзоры Феррары и Зумино дают общую ориентацию в истории, физическом смысле и перспективах. Статья Becca считается наиболее удачным первоначальным введением в формализм дифференциальной супергеометрии с выводом простейших уравнений супер-янг-миллсовского типа и анализом простой супергравитации. Наконец, еще три статьи имеют в значительной мере математический характер и посвящены прояснению роли кривизны, кручения, тождеств Бьянки и связей в формализме супергеометрии.
Контуры квантовых суперсимметричных теорий (включая супергравитацию) еще только намечаются. Высказываются надежды, что расширенная N = 8-супергравитация будет первой полной единой теорией. Ho даже в этом случае список ее фундаментальных полей может иметь лишь непрямое отношение к спектру элементарных частиц, наблюдаемых при доступных энергиях. Поэтому существенно понимать способы увеличения списка частиц, считываемых с лагранжиана. Кроме обычных связанных состояний, голдстоуновских бозонов и фермионов, сюда относятся также частицеподобные решения («монополи») и включающие их связанные состояния. Это подчеркивает многообразную роль классических уравнений движения и в суперсимметрии.
Существенный прогресс в решении нелинейных уравнений теории поля в последние пятнадцать лет связан с методами обратной задачи теории рассеяния (в основном (1 + 1)-мерные модели) а твисторного преобразования Пенроуза (автодуальные уравнения Янга —Миллса и Эйнштейна в размерности 4). Общей отправной точкой обоих методов является представление подлежащей изучению нелинейной системы в виде условий интегрируемости вспомогательной линейной системы. После этого свойства нелинейной задачи оказываются закодированными в свойствах соответствующей линейной задачи — ее данных рассеяния, матрице монодромии, либо расслоения горизонтальных сечений (последние в методе Уорда—Атьи). Поэтому заметный интерес представляет выявление того обстоятельства, что многие связи и динамические уравнения в суперсимметрии — супергравитации вводятся как условия интегрируемости или могут быть преобразованы к такому виду. Для ориентации математически настроенного читателя мы вкратце изложим одну геометрическую схему, которая может служить общим
10 Ю. И. Мант
исходным пунктом и для твисторной, и для суперсимметрийной картин.
6. Обобщенные конформные структуры и связности. Следующая геометрическая структура лежит в основе ряда геометрических конструкций в теории поля. Она служит одновременно для порождения динамических уравнений и связей в суперсимметрии и для конструкции их решений, точнее, редукции этой задачи к построению голоморфных расслоений на многообразиях и супермногообразиях или к задачам деформации в стиле Пенроуза [5, 6]. Эта схема включает следующие понятия.
а. Пусть M — некоторое многообразие или супермногообразие размерности п; мы будем писать также п = По\гіі, если щ — число коммутирующих, а п\ — антикоммутирующих координат. Например, в обычной теории Эйнштейна п = 4, а в расширенной супергравитации n = A\4N. Пусть d—некоторая размерность, меньшая чем п, т. е. d= do| d\, di^n-,. Назовем d-конформной структурой на M задание в каждой точке Al некоторого многообразия d-мерных касательных подпространств M в этой точке. Пусть F — супермногообразие таких подпространств, я: F—* M — его естественная проекция на М.
б. Если на M задана d-конформная структура, то d-связно-стью на ней называется d-мерное распределение на F, т. е. задание такого семейства d-мерных касательных пространств к F, что проекция с помощью л такого пространства из точки у на F в точку х на M совпадает с пространством, которое представлено точкой у.
в. Понятие d-связности на конформной структуре не совпадает с известными определениями, скажем аффинной связности. Можно доказать, что тем не менее при естественных условиях d-связность можно описывать коэффициентами Глвс (А, В, С — суперпространственные индексы), которые, однако, подчинены разнообразным условиям симметрии, обращения в нуль определенных компонент и т. п. Эти условия систематически выводятся из геометрических свойств F. Связи в супергравитации (по крайней мере часть их) можно сформулировать как условия интегрируемости одной или нескольких d-связностей, заданных на суперпространстве М.
г. Важные классы d-связностей возникают при искривлении «плоских» d-связностей. Чтобы ввести это последнее понятие, рассмотрим супергруппу Ли G и три ее подгруппы Hm, Hf, Hl, причем Hf содержится в Hm и Hl. Положим далее M = G/Нм, F= G/Hf, L = G/Hl и используем слои естественной проекции F-^L для задания одновременно d-структуры на M и интегрируемой d-связности на ней, где d — размерность Hl/Hf. (Чтобы это можно было сделать, нужно, чтобы эти слои имели нуль-мер-ное пересечение со слоями проекции я: F-+ M1 точнее, чтобы
