Лазеры сверхкоротких световых импульсов - Херман Й.
Скачать (прямая ссылка):
(AtAW= 0,7 (ЯЇ-Л2)!/». (1.28)
12 \
1.2.,ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАНАРНЫХ (ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ
Неоднородные (градиентные) планарные OB с. плавным изменением показателя преломления П\(х) по поперечному сечению волновода находят широкое применение в интегральной оптике. Показатель преломления п\(х) такого градиентного волновода (рис. 1.1,6) может быть задан в виде
Ti1(X) = Tin +к nf(x/d), (1.29)
где Att = Tii—«о; Ti0 — показатель преломления подложки; П\ — максимальное значение показателя преломления П\(хо) (как правило, X0 = O); f(x/d) — функция профиля показателя преломления OB (f(xo/d) = 1, f(oo) =0); d — параметр профиля. Достигаемое на практике приращение показателя преломления An обычно не превышает нескольких процентов от п0 и, кроме того, Ап-^щ—Яг-Каїк правило, вид функции щ(х) (и, следовательно, f (x/d)) заранее не известен. Поэтому разработаны различные методы определения профиля показателя преломления градиентных OB по экспериментально измеренным значениям эффективных показателей преломления n*m его мод [86]. Эти методы можно условно разделить на две группы. К первой относятся методы, основанные на возможности установления для некоторых функций профиля аналитической связи между параметрами волновода и его эффективными показателями преломления n*m. В этом случае заранее задается вид функции П\(х) и необходимо лишь определить соответствующие параметры OB для выбранной функции профиля. В ряде случаев профили показателей преломления реальных пла-нарных градиентных OB могут быть аппроксимированы линейной, параболической, экспоненциальной, гауссовой функциями, функцией обратного квадрата гиперболического косинуса, дополнительной функцией ошибок и некоторыми другими (рис. 1.3), а также их комбинациями [18, 27, 32, 33]. Наиболее хорошо разработан способ определения профиля показателя преломления П\(х) с помощью комбинации двух функций — параболы и экспоненты. Критическое значение параметра профиля d, определяющее глубину градиентного волновода, зависит от конкретного вида функции профиля f(x/d), а также от индекса возбуждаемой моды. Однако в любом случае для низших (и тем более высших) мод градиентного OB должно выполняться условие
Mmln(Ti1ATi)WS % 1. (1.30)
Ко второй группе относятся методы определения профиля показателя преломления, основанные на обращении дисперсионного уравнения градиентного OB в ВКБ-приближении при кусочной аппроксимации (лг) некоторыми достаточно простыми функциями [86]. В этих случаях кроме ограничений, накладываемых приближением ВКБ (Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна), существует неоднозначность в выборе значения показателя преломления на
13 поверхности (резкой границе) волновода, которая в принципе может быть устранена.
Поскольку профиль показателя преломления градиентных OB меняется плавно (grad[/(x/d)]/f (x/d) «Cl при Дл:^), то для описания распространения поверхностных волн в таких OB используется метод ВКБ. В ВКБ-приближении дисперсионное уравнение градиентного волновода можно представить в виде [87, 88]
VItmIf (I) - bm]4*dl = J^m--Lj+ arctg (-J2^L- у/а , (1.31)
где V= kd(H21-H20) 1P-, f(Itm) =bm, \ = x\d\ Xtm — координата точки поворота моды с индексом т (см. рис. 1.1,6); Ьт — нормированный эффективный показатель преломления. Дисперсионное уравнение (1.31) в модели плоских парциальных волн отражает условие того, что полный набег фазы световой волны, возникающий при одном ее полном проходе от верхней границы градиентного OB до точки поворота и обратно с учетом дополнительного набега фазы при отражении от верхней (резкой) и нижней (плавной) границ волновода, должен быть кратен целому числу длин волн.
Если ввести нормированную толщину градиентного OB
V0 = k(rt-nl)l/2 D- D=d][f(l)yi*dt, (1.32)
о
где D — глубина профиля показателя преломления или толщина градиентного волновода, то дисперсионное уравнение (1.31) может быть приведено к универсальному виду [86]
Sim(f(t)-bm\u*dl = m. (1.33)'
о
Здесь т=л(т + 8т—3/4)/Vo — нормированный модовый индекс; 6rn = arctg[(bm + a)/(l—Ьт)]1/2/я. Если эффективный модовый индекс (m + om—3/4) считать непрерывным параметром, то уравнение (1.33) определяет функцию т, зависящую от нормированного эффективного показателя преломления Ьт, значение которого изменяется от О до 1. При этом нормированный модовый индекс т пробегает значения от 1 до 0.
Уравнение (1.33) описывает нормированные эффективные показатели преломления Ьт всех планарных градиентных OB с заданной функцией профиля одной и той же кривой b(rh). Это позволяет свести каждое семейство дисперсионных кривых, известных для различных функций f(x/d), к одной универсальной кривой. На рис. 1.4 приведены универсальные дисперсионные кривые Ь(т) планарного OB для некоторых типичных профилей показателя преломления rii(x). Для параболического, линейного, экспоненциального и ступенчатого видов профилей, а также профиля обратного квадрата гиперболического косинуса функциональная зависимость (1.33) может быть найдена аналитически (табл. 1.1).
