Лазеры сверхкоротких световых импульсов - Херман Й.
Скачать (прямая ссылка):
ipOi l(i) = A01 ехр X ехр I — j k ¦
і +Ai у
w(z)
X
іAi 2 R (г)
+ І
ie]}.
где
w{z) = w0 [I +(2Zfkw20)2],
R{z) = z[\ + (kw2!2z)2]
— радиусы пятна и кривизны волнового фронта LPoi-моды на расстоянии z=h.z от торца ВС; г2 = = X2 + у2, г — радиус-сектор; i = x, у\ Aqi = V2/яш-1 — нормировочный коэффициент. Строго говоря, выражение (5.17) является точным для случая квадратичного закона распределения показателя преломления по сечению ВС.
Расчет эффективности согласования одномодовых ВС с одномодо-вым канальным [149] и полосковым [122, 150] OB обычно проводят с помощью выражения (5.15) для не-
Рис. 5.2. Торцевая стыковка полоскового OB с ВС:
а — вид в плоскости XY; б —в плоскости ZY
(5.17)
(5.18)
(5.19)
107 которых модельных распределений поля моды трехмерного OB. Распределение поля ?пж,у-моды одномодового канального и градиентного полоекового волноводов по глубине, как это отмечалось в § 3.3 (см. (3.23)), аппроксимируется функцией Эрмита — Гаусса первого порядка
X1 (х) = A^ X ехр [ — (x/wxf], (5.20)
где Axі = (2/У nwx) i/2lwx — нормировочный коэффициент; Wx — полуширина поля моды по координате х. Распределение поля Еих-у-моды тонкопленочного полоекового OB по глубине и ширине (координатам хну) задаются выражениями (1.14) и (3.25) соответственно, которые являются точными. Распределение ПОЛЯ основной моды канального OB по его ширине достаточно хорошо аппроксимируется функцией Гаусса
Y1(y) = Ayexpl-(y/wvr], (5.21)
где Avl = (1 [Y^,wvy/2 — нормировочный коэффициент; Wv — полуширина поля моды по координате у. Функции (5.20) и (5.21) являются достаточно хорошим приближением для описания распределений полей в канальном одномодовом OB Ti : LiNbOs.
В приближении метода эффективного показателя преломления, когда поле моды трехмерного OB задается в общем случае в виде (3.21), т. е. переменные х и у разделяются, эффективность согласования (возбуждения) волноводных структур может быть представлена в виде
Ло = Ло * %,. (5.22)
где t]ox, ЇІ01/ — одномерные интегралы перекрытия полей возбуждающей и возбуждаемых волн по координатам х и у соответственно.
Рассмотрим теперь влияние параметров одномодовых волноводных структур и их взаимного положения друг относительно друга (см. рис. 5.2) на эффективность согласования при торцовой стыковке. Асимметрия распределения поля мод градиентного OB по координате х, как показано в [151], играет незначительную роль как при расчете эффективности согласования т]о, так и при оценке допусков на продольные Az и поперечные смещения Ax и Ay стыкуемых волноводных структур. Основными параметрами трехмерных OB, определяющими эффективность их стыковки с одномодовыми ВС, являются полуширины ОСНОВНОЙ Яп-МОДЫ Wx и W4 и нормированные толщина Vi и ширина V волновода [89, 150]. Профиль показателя преломления и распределения ноля моды OB очень слабо влияют на максимальное значение эффективности согласования и, следовательно, на потери при стыковке одномодовых волноводных структур. Поэтому при определении допусков на линейные и угловые смещения торцоїв OB и ВС для упрощения расчетов интегралов перекрытия полей мод г)о* и Цоу очень часто используют распределения поля моды канального и полоекового OB в виде функции Гаусса (5.21). Таким образом, 108 распределение поля моды на выходном торце ВС и трехмерного OB можёт быть представлено в приближении гауссовых пучков.
Эффективность согласования гауссовых пучков эллиптического и1 кругового сечений при наличии поперечных Ах, Ay и угловых смещений Qx, Qy относительно друг друга и зазоре Az между перетяжками пучков, а в нашем случае — между торцами волноводных структур, можно представить в виде [70]
! Чх^Ъу
Лг
ufx 4>
+
где
Лоі = ехр
X
W0 Wx
(A O2 2
2 Az
W0
W0
(5.23)
+ ¦
S;
k2 О?
-(
Wj -
¦wo)
X
k (W2i+ W20)
-1/2
I=X, у.
Величина Tjr выражена через такие параметры согласуемых пучков, а следовательно, волноводных структур, которые не зависят от выбора начала системы координат. Продифференцировав (5.23) при Ax=Ay=Az = Qx = Qv = O и приравняв результат к нулю, легко найти, что функция ^r имеет максимум при Wo = — (wxwy)1/2. Значение т]Гтах дает верхний предел для эффективности согласования реальных волноводных структур.
Зависимость эффективности согласования тіої(і = *, у) от отношении Wxlwy приведена на рис. 5.3. Видно, что в достаточно широких пределах б окрестности wjwyxl значение т]0 слабо меняется с изменением отношения поперечных размеров OB. Здесь же представлены зависимости Tjoi- от относительных поперечных смещений Ax/wo и Ayjw0 торцов волноводных структур (см. рис. 5.2)
О 0,5 1,0 1,5 2,0 ~ Wk/tvj
Рис. 5.3. Зависимость эффективности согласования т]оі от отношения WxlWy при Дд;=Дг/ = 0 = О (/), от относительных поперечных Ailw0 (І — Х, у) и угловых смещений 0 (2) и от продольного смещения торцов одномодовых волноводных структур (kAz) I(Iiw0)2 (3) при Wx = Wv = W0
rIoi
0,15
0,50 0,25
——- 1
/ \ к ч
