Лазеры сверхкоротких световых импульсов - Херман Й.
Скачать (прямая ссылка):
где Wnmix, у) — распределение ПОЛЯ Evnm(E^nm)-моды OB.
В приближении метода эффективного показателя преломления решение уравнения (3.20) находим в виде
Ynm (X, у) = Xn (X) Ym (у), (3.21
гдеХп(л:) и Ут(у) — распределения поля моды по поперечным координатам X и у соответственно. Функции Xn (х) описывают ПОЛЯ' мод планарного волновода с показателем преломления «і (х, 0) = = Zll(X) и являются решениями одномерного волнового уравнения
{-JT + M л? (*) - П?п] } Xn И = 0. (3-22)
которое для произвольной плавной функции rii(x), как правило, решается численными методами [89]. Для упрощения вычисления интегралов перекрытия полей мод реальных градиентных OB (таких, как диффузионные волноводы в ниобате лития и стекле) распределения их полей Xn (х) обычно аппроксимируются некоторыми модельными аналитическими функциями, близкими к реальным. Одними из наиболее подходящих для этих целей являются функции Эрмита—Гаусса, представляющие собой точные решения одномерного волнового уравнения для волноведущей среды с параболическим профилем показателя преломления '[27]. В таком приближении Xn (х) можно представить в виде
Xn (х) = An H2n^1 (Xlvn) ехр [ - rV(2 ^2)] , (3.23)
где An = {vn~1?[22n-1(2n—1) !я1/2]}1/2 — нормировочный множитель; Hn(Xjvn) —полиномы Эрмита порядка п\ п=1, 2, 3, ...; па-
64. раметр vn выбирается таким образом, чтобы ширина реальной функции 2wn для мод одинакового индекса совпадала с шириной модельной функции распределения по уровню Ii/е. Приближение (3.23) достаточно хорошо описывает моды асимметричных градиентных OB вдали от отсечки и в лучшей степени — основную моду таких волноводов [122].
Функции Ym(y) описывают поля мод эквивалентного симметричного OB и являются решениями одномерного волнового уравнения
{^г + k' К п"т Щ2 - ( Km)2} } ^ (O) - О- (З-24)
Для однородного профиля показателя преломления такого волновода (например, для полосковых или канальных гребенчатых OB) решение уравнения (3.24) можно представить в виде
{ Am[(pJhm)sinhmy + coshmy], \y\<W/2-,
Ym (У)— { Am [(PJhm) sin (hm W12) + cos (Am Wl2)] X (3.25)
І X exp [ — pm (\y \ — W 12)]; \y\>W/2,
где
Am = (-^-)"2. (3.25a)
= (3-256)
= (3.25B)
W*nm — эффективная ширина ?пт-иояы OB; m= 1,2,3,... B (3.25) для нечетных по индексу тп мод (т= 1, 3, 5, ...) остаются только косинусы, а для четных мод (т=2, 4, 6, ...) — только синусы. Так как обычно п*іжп*и, то распределения полей Ym(y) для Exnm- и E^nm-мод совпадают с точностью до постоянного множителя порядка (n*i/n*n) a; 1 [12, 24].
3.4. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ КАНАЛЬНЫХ И ПОЛОСКОВЫХ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ
При разработке ОИС на основе канальных и полосковых OB возникает необходимость выбора оптимальных параметров таких волноводов: ширины W, толщины h и показателей преломления OB, обеспечивающих одномодовый режим. Методика выбора параметров канальных и полосковых OB основана на использовании метода эффективного показателя преломления [123, 124]. Она иллюстрируется рис. 3.4.
Так как обычно для рассматриваемых OB Ая/я0<1, то из выражения (3.6) следует, что
V1 = kh ( п\ - л*) « 2 л h (2 A Tin0)1(3.26)
где h — толщина базового планарного волновода; h = da для
3-42 65 В) - б)
Рис. 3.4. Графические зависимости для определения нормированных постоянных распространения 6 и параметров градиентных канальных и полосковых OB для функций профиля показателя преломления f(x/dx) =erfc(x/dx) и g(yldy) — \ на длине волны Л=0,63 (сплошные линии) и 1,3 мкм (штриховые) при по«2,2:
а — зависимость Vi от параметра профиля dx планарного OB для значений Дл=10-2 (/); 5-Ю-3 (2); IO-3 (3); б — зависимость Ь[(11) от v1 для различных индексов мод п планарного OB р разной степенью асимметрии; в — зависимость V от Ьт для W=4 (/)¦, 6 (21; 8 мкм (3) при An=IO-2; г —- зависимость Ь от V для различных индексов мод m эквивалентного симметричного OB
градиентных канальных и ,полосковых OB. Задавая для исходного планарного OB dx (или h) и определяя V1 (рис. 3.4,а), находим с помощью соответствующих дисперсионных кривых (см. рис. 3.4,6 или рис. 1.2) значение bi и Ьц для полоекового OB или канального OB гребенчатого типа. Поскольку п*х—п*п=Лп*<^п*п, то из (3.8) находим, что для полосковых и гребенчатых канальных OB
V ж 2л W (2п*и Д п*у2/к. (3.27) Аналогично для погруженного «анального OB имеем
V «2 it Wb\/2 (2 n0Any/2fl. (3.27а)
Зависимость У от bj для различных W в соответствии с (3.27а) 6б приведена на рис. 3.4,е. Для заданной ширины W трехмерного OB по известному bi находим V и затем с помощью дисперсионных зависимостей для эквивалентного симметричного волновода (рис. 3.4,г) определяем нормированный эффективный показатель преломления Ь, соответствующий одномодовому режиму рассматриваемого трехмерного OB.
Описанная методика может быть непосредственно применена для выбора параметров канальных OB1 получаемых диффузией Ti в LiNbO3. Для простоты мы ограничились случаем OB с одномерной диффузией, когда диффузией в боковом направлении вдоль оси у можно пренебречь. В этом случае функция профиля показателя преломления Пі(х, у) канального OB имеет вид g(y/dy) = 1 при I у I ^ W и g (у ldy) =O при \y\>W, где W=2dy — ширина полоски Ti. Для одномодовых и маломодовых OB рассматриваемого типа профиль показателя преломления волновода по глубине достаточно хорошо аппроксимируется функцией профиля f{xjdx) вида (3.2), для которой соответствующие дисперсионные кривые приведены на рис. 3.4,6. Для типичного диффузионного одномодово-го канального волновода Ti: LiNbOa, имеющего большую степень асимметрии (oi-koo) , диффузионная глубина dx равна примерно 2 мкм и изменение показателя преломления волноводного слоя An~0,01 на длине волны 0,6328 мкм. Используя рассмотренную методику, находим, что ширина W одномодового канального OB не должна превышать 4 м®м (см. ірис. 3.4). Таким образом, задавая параметры диффузии dx и An, мы можем определить конструктивные параметры W и M канального OB и выбрать рабочую длину волны К. Описанная методика графического выбора параметров канальных OB может быть обобщена на случай OB с двумерной диффузией, когда такой волновод имеет профиль показателя преломления вида (3.1).
