Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
для k е К
Q{g) = f{k~lg),
Rkf(g) = f{gk).
(Определение оператора L здесь выбрано так, чтобы выполнялось равенство
Lk^ - LkLk^
Обратно, всякую функцию f (g), удовлетворяющую соотношению f {kgkr) =f
(g), можно рассматривать как функцию на Т, задаваемую равенством (3),
причем функция f(t) здесь будет вращательно симметричной относительно tQ.
Итак, мы видим, что изучение коммутаторной алгебры подстановочного
представления эквивалентно изучению инвариантных функций двух аргументов,
заданных на Т X Т, что в свою очередь эквивалентно изучению функций на Т,
вращательно симметричных относительно некоторой фиксированной точки.
Изучение же этих последних равносильно изучению двояко инвариантных
функций на G.
Заметим, что двояко инвариантные функции на G образуют алгебру над полем
комплексных чисел. В самом деле, линейная комбинация двух таких функций,
5.1. Коммутаторная алгебра
29
очевидно, также двояко инвариантна, и если f\ и /2 - две такие функции,
то
?1 * h (kgok') = 2 Ji (kgak'g-1)^ (g) = 2Mgo^-1)f2'(g) =
g g
= 2 /1 (gog-1) h (gk') = 2 /1 (gog-1) h (g) = fi * I2 (go)-s
Выясним теперь, при каких условиях эта алгебра коммутативна, т. е. fi */2
= f2 *fi- Оказывается, это будет тогда и только тогда, когда коммутативна
коммутаторная алгебра рассматриваемого представления. В самом деле,
2 fi (gog-1) /2 (g) = 2 Yi (gg0-%> *o) Y2 (g-%, /0).
g g
где yi(s, и уг(", /) - элементы матриц Г] и Гг коммутаторной алгебры,
соответствующие функциям /\ и f2. Последняя сумма равна
2 Y, (§о% g~lt0) Y2 (g-'fo. *0) = (G : Я ] Y12 (g0A> *o)>
fi
где yi2(s, t) -элемент матрицы Г1Г2. Таким образом, алгебра двояко
инвариантных функций, рассматриваемая над полем комплексных чисел,
коммутативна, если ни одна неприводимая компонента данного представления
не имеет кратности, большей единицы.
Укажем важный подкласс таких функций для случая когда двояко инвариантные
функции образуют коммутативную алгебру. Рассмотрим фиксированное
неприводимое представление U(r)(g) над полем комплексных чисел. При g,
пробегающем подгруппу К, представление 1ДГ> может уже оказаться
приводимым и, в частности, может содержать одномерное (единичное)
представление. В этом последнем случае мы будем говорить, что наше
представление есть представление класса 1, и использовать для его
обозначения верхний индекс X (вместо г). Если представление iKK4k)
записано в приведенном виде, то элемент на
30
5.1. Коммутаторная алгебра
главной диагонали, соответствующий одномерному представлению,
тождественно равен единице на К., но на G он принимает и отличные от
единицы значения. Этот диагональный элемент ^k)(g), очевидно, двояко
инвариантен (все элементы той же строки, что и наш элемент, будут
левоинвариантны, а того же столбца - правоинвариантны). Мы будем называть
(p(l)(g) зональной сферической функцией1). Но в каждом неприводимом
представлении Ud)(g) при g, пробегающем К, единичное представление имеет
кратность не большую единицы2); поэтому все зональные сферические функции
ортогональны, т. е. (ф(Х1>, ф(ад) = 0 при М = Кг (см. раздел 3.1), в то
время как (ф№), ф(Х)) = d%1, где dx - степень неприводимого представления
содержащего ф<4
Таким образом, существует столько же ортогональных функций ф(Ч(|1),
сколько существует неприводимых представлений группы G, содержащих
сужение единичного представления на подгруппу К- Если теперь мы вернемся
к исходному подстановочному представлению, с помощью которого
определялась подгруппа К, то увидим, что всякое такое неприводимое
представление содержится в исходном, а все другие представления не
содержатся. (Это утверждение является частным случаем принадлежащей
Фробениусу
') Строго говоря, следовало бы называть эту функцию положительно
определенной зональной сферической функцией.
2) Схема, доказательства этого факта такова. Подпространство N
пространства, в котором действуют операторы U^Hg), состоящее из всех
векторов, инвариантных относительно преобразований U{K) (k), инвариантно
относительно любого оператора 27(g) ^<Х)(ё). где функция [(g) двояко
инвариантна. Если пространство N не одномерно, то в силу того, что все
эти операторы перестановочны друг с другом (и, следовательно, также и с
сопряженными к ним), можно найти два вектора Х\ и х2 из N, принадлежащих
к взаимно ортогональным подпространствам, инвариантным относительно этих
операторов. Нетрудно показать, что вектор (g)X{ также ортогонален к х2
при всех g eG. Но множество U^(g)xi при geG будет инвариантным
подпространством, не содержащим х2, что невозможно в силу неприводимости
представления U^\g),
5.1: Коммутаторная алгебра
31
теоремы взаимности.) Итак, существует столько же зональных сферических
функций, сколько существует неприводимых компонент исходного
представления, т. е. их число равно размерности коммутаторной алгебры как
векторного пространства. Отсюда вытекает, что зональные сферические
функции, будучи ортогональными и, следовательно, линейно независимыми,
