Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
попарно неэквивалентным неприводимым подпредстав-лениям, сами блоки уже
не обязательно имеют такой простой вид. Разумеется, расширив затем поле
скаляров до поля комплексных чисел, но не меняя представления группы G,
мы сможем все же привести элементы коммутаторной алгебры к виду (2). Чаще
всего мы будем иметь дело с полем комплексных чисел, так что
коммутаторная алгебра будет алгеброй над этим полем,
26
5.1. Коммутаторная алгебра
Особо важен случай, когда все р равны единице, так что элементы
коммутаторной алгебры, рассматриваемой над полем комплексных чисел, можно
одновременно привести к диагональному виду с помощью -преобразования,
зависящего лишь от представления, но не от отдельного элемента
коммутаторной алгебры. Следует заметить, что если мы имеем дело с
вещественными симметрическими матрицами, как это часто бывает в
статистических приложениях, то расширение до поля комплексных чисел не
связано ни с какими ограничениями. В самом деле, если вещественную
симметрическую матрицу А можно привести к диагональному виду
преобразованием А -*• РАР~1, где Р - комплексная матрица, то-существует
такая вещественная матрица Q, что матрица Q/4Q-1 также диаго-нальна,
причем Q зависит лишь от Р. Однако если матрица А не симметрическая, то
дело обстоит уже не так просто.
Специальный интерес представляют подстановочные представления, о которых
уже шла речь в начале раздела 3.3'). Обозначим через gt ту точку, в
которую переходит t при перестановке g (предполагая, как обычно, что все
точки множества Т различимы). Соответствующую матрицу, у которой на
пересечении t-й строки и s-ro столбца стоит единица, если g переводит
точку s в /, мы обозначим через U(g). Мы используем здесь букву U, так
как эта матрица ортогональна в естественной метрике. Точки множества Т
можно взаимно однозначно сопоставить правым классам смежности группы G по
подгруппе К, оставляющей неподвижной некоторую точку t02), считая, что
точке t соответствует класс смежности gK, если gt = t0. Точки (s, t)
произведения Т X Т можно разбить на классы эквивалентности, относя две
точки (si, t\) и
¦) Мы считаем, что G действует на Т транзитивно, т. е. для любых s,t^T
найдется подстановка, переводящая s ъ t. Если это не так, то можно
разбить Т на классы эквивалентности и рассматривать действие группы G на
каждом классе в отдельности.
2) К называется стационарной подгруппой точки t0. Если мы будем исходить
из другой точки, скажем th то подгруппу К при этом придется заменить на
gKg~l, где gt0 = tu
5.1. Коммутаторная алгебра
27
(s2, h) к одному и тому же классу тогда и только тогда, когда gst - s2,
gt\ = t2. Отображение (s, t) -> ->(gs,gt), очевидно; оставляет эти классы
инвариантными. Эти классы могут быть также заданы с помощью их
индикаторных функций %(s,t), принимающих значение 1, если точка (s,/)
принадлежит характеризуемому классу, и 0 в противном случае. При этом
%(gs, gt) = %{s, t), т. e. эта функция двух аргументов инвариантна
относительно преобразований группы. Из соотношения U(g)T - TU(g) видно,
что функция y(s, t), равная элементу, стоящему на пересечении s-й строки
и t-го столбца матрицы Т из коммутаторной алгебры представления U(g),
g^G, постоянна на 'классах эквивалентности произведения Т X Т.
Следовательно, у (s, /) = 2 (s, /), где сум-
мирование ведется по всем классам эквивалентности. Отсюда ясно, что
функция y(s, t) также инвариантна относительно преобразований аргументов
и, более того, все инвариантные функции можно получить таким образом.
Изучение коммутаторной алгебры сводится поэтому к изучению структуры
инвариантных функций двух аргументов. А эти функции в свою очередь можно
привести во взаимно однозначное соответствие с функциями /(/),
определенными на Г и обладающими свойством вращательной симметрии
относительно фиксированной точки t0, т. е. такими, что /(№) =f(t) Для
всех ^ из подгруппы К группы G (термин вращательная симметрия, вообще
говоря, здесь не очень подходит, но мы его выбрали по аналогии с другими
случаями, о которых будет идти речь ниже). Для того чтобы установить
указанное соответствие, заметим, что функция /(/) =y(t,t0) обладает
свойством вращательной симметрии и для всякой функции /, обладающей этим
свойством, функция двух аргументов y(s, t) = f(gos), где got = to,
инвариантна, так как
V (gs> gt) = f(g0g~lgs) = y(s, t).
Для любой функции p(t) можно построить соответствующую ей вращательно
симметричную функцию,
28
6.1. Коммутаторная алгебра
полагая
f(o=-^Sp(*o,
k&K
где tn - порядок подгруппы К. Множитель пг~] здесь введен для того, чтобы
отображение р-* f было идем-потентным.
Функции f(t), обладающие свойством вращательной симметрии, можно
рассматривать также как функции / (g) на G; для этого надо только
положить
f(g) = f(0, если gt0 = t, (3)
так что f(gk) =f(g) . Вспомним теперь, что f(kt) = =f(t). Следовательно,
функция f(g), получаемая из f(t) указанным способом, двояко инвариантна,
а именно инвариантна и относительно левых, и относительно правых сдвигов:
