Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
перестановки. Эти классы эквивалентных элементов, очевидно, не
пересекаются. Нетрудно показать, что число таких классов k задается
равенством
k = 7Г S х ^ " 7Г I] hi%
о
3.3. Приложение к генетике
23
Последний результат был использован Фишером [1], Джеймсом и Папазяном [1]
и другими авторами для определения' числа неэквивалентных типов "тетрад",
т. е. четверок гаплоидных клеток, содержащих по одной из четырех нитей,
на которые расщепляется пара хромосом диплоидной клетки в процессе
мейоза. Мы можем рассматривать эти нити в некотором фиксированном порядке
соответственно аллелям в некотором локусе, например ААаа. Тогда
кроссинговер может изменять порядок аллелей в этом локусе. Существуют
четыре различные перестановки, оставляющие этот порядок без изменения,
так что общее число различных комбинаций здесь равно 6. Таким образом,
если .рассматривать эти комбинации как элементы множества Т, то получится
представление степени 6 симметрической группы перестановок четырех
объектов. Если рассматривать одновременно I локусов, то получится
тензорное произведение представлений, являющееся представлением степени
6г той же самой симметрической группы. 6г элементов нового множества Т -
это всевозможные различные (упорядоченные) множества, соответствующие
четырем хромосомам, возникающим из пары хромосом в процессе мейоза, при
котором допускаются все формы кроссинго-вера, не изменяющие порядок
локусов вдоль хромосомы. Легко видеть, что'если %(g)- характер тензорного
произведения представлений, a %(g)- характер исходного представления, то
% (g) = {%(g")F (где %(g) равно числу элементов из Т, остающихся на месте
при перестановке, соответствующей в нашем представлении элементу g).
Следовательно, число "неэквивалентных типов тетрад" можно определить по
формуле
Значения характеров на различных классах легко подсчитать, после чего
последняя формула приводит к результату k = (24)-1(6г + 9,2г). Дальнейшее
обсуждение этого и других аналогичных случаев можно найти в работе
Джеймса и Папазяна [1].
24
5.1. Коммутаторная алгебра
4. Конечные абелевы группы
Если gig2 = g2gi ДЛЯ всех gu g2^ G, то группа G называется абелевой.
Понятно, что все неприводимые представления в этом случае должны быть
одномерными, так что характеры неприводимых унитарных представлений
задают гомоморфное отображение нашей группы в мультипликативную группу
комплексных чисел, равных по модулю единице. Таким образом,
Х^гНхЫхЫ, ____________
Х(е)=1, X(gr_1) = X~1(gr) = x(gr)-
Если i(g) и %'(g)- два характера, то i(g)%'(g) и X~1(g) - также характеры
неприводимого представления, так что множество характеров само обладает
групповой структурой при указанной операции умножения, причем характер
%(g)=l играет роль единичного элемента. Обозначим через G группу
характеров. Если элемент g фиксировать, то функция %(g) при %,
пробегающем всю группу G, гомоморфно отображает G в группу комплексных
чисел, равных по модулю единице, и группу характеров абелевой группы G
можно отождествить с группой G.
Из того, что было сказано о произвольных конечных группах, следует, что
существует достаточно много характеров в том смысле, что всякую функцию
на G можно представить в виде их линейной комбинации. Напомним также, что
характеры удовлетворяют соотношениям ортогональности:
"~'2х(г> (?)X0) (g) = 6{. а
5.1. Коммутаторная алгебра
Для дальнейшего будет удобно рассматривать групповую алгебру как
множество комплексных функций a(g), определенных на группе и образующих
векторное пространство, в котором сверх обычных векторных операций
определено произведение
а * b (g) = 2 a (g/Г1) b (h). (1)
5.1. Коммутаторная алгебра
25
Коммутаторная алгебра данного представления состоит из всех матриц В,
перестановочных с каждой матрицей данного представления. Если
представление неприводимо, то все элементы этой алгебры (за исключением
нулевой матрицы) невырождены; если же неприводимое представление
рассматривается над полем комплексных чисел, то все элементы
коммутаторной алгебры лишь числовым множителем отличаются от единичной
матрицы. Эти утверждения составляют существо содержания леммы Шура. После
приведения (приводимого) представления к простейшей форме мы получим
прямую сумму неэквивалентных неприводимых подпредставлений, каждое из
которых повторяется в сумме некоторое число раз. Расположим повторяющиеся
блоки, соответствующие одной и той же неприводимой компоненте, один под
другим вдоль главной диагонали. Тогда матрицы коммутаторной алгебры также
распадутся в прямую сумму, и если числовое поле комплексное, то блок,
соответствующий данному неприводимому представлению степени N,
повторенному р раз, будет иметь вид А <8> IN, где IN - единичная /V-
мерная матрица. Так, например, при р = N - 2 этот блок^удет иметь вид
ап 0 "12 0 "
0 "п 0 "12
"21 0 "22 0
0 "21 0 0-22-
Если же поле чисел вещественное, то, хотя матрицы коммутаторной алгебры
представимы в виде прямой суммы блоков, соответствующих составляющим
