Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
размерностью векторного пространства R(Q),
20
3.2. Тасование'карт
Существуют специальные таблицы характеров (см., например, ЛиТйвуд [I]1)-
При их составлении используется тот факт, что
%{hgh~x) = %{g),
откуда видно, что характер %(g) постоянен на классах эквивалентности, на
которые распадается группа G в силу соотношения эквивалентности g~hgh-I.
Мы будем обозначать множество элементов группы, принадлежащих г'-му
классу, через Сг, а число элементов в нем - через /г*. Число г
неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений конечной группы
совпадает с числом классов эквивалентности. Обозначим через x(C'j)
значение характера на г-м классе.
3.2. Тасование карт
Цель нашего первого (не особенно важного) примера - проиллюстрировать
результат, который еще будет обсуждаться в дальнейшем. Пусть у нас
имеется m различных карт, которые мы много раз тасуем. Мы считаем, что
каждое отдельное тасование выбирается независимо от остальных с
постоянной вероятностью p(g), g е Sm, причем множество тех g, для которых
не содержится ни в какой истинной (т. е. отличной от самой группы)
подгруппе Sm, ни в классе смежности по такой подгруппе. Здесь Sm -
симметрическая группа степени пг, т. е. группа всевозможных перестановок
m объектов. Эта группа обладает тем свойством, что всякое ее неприводимое
представление над любым расширением поля рациональных чисел абсолютно
неприводимо, и, следовательно, мы можем здесь использовать результаты
раздела 3.1. Образуем преобразование Фурье-матрицу
sm
где в соответствии со сказанным выше можно без ограничения общности
считать, что ?/М- унитарное
') Более краткие таблицы характеров некоторых важных групп можно найти в
книге Мурнагана [1]. - Прим. ред.
3.2. Тасование карт
21
представление. Тогда легко проверить, что верна теорема о свертке, т. е.
если выбрать g и h из Sm независимо и с вероятностями p{g), q{h), то
преобразованием Фурье распределения вероятностей gh будет p(r)q(r). Кроме
того, существует взаимно однозначное соответствие между р(г) и p(g), так
как если бы различные p(g) и q(g) имели одно и то же преобразование
Фурье, то при любом г выполнялось бы равенство
2 Uir) (g) [р (g) - q (g)] = О,
Sm
что невозможно в силу полноты системы функций в R(O).
Если обозначить распределение, получающееся после t последовательных
независимых тасований, через Pt{g), то pt{r) = [р(ОР- Заметим, что все
собственные значения матрицы р(г) по абсолютной величине меньше единицы.
В самом деле, пусть X- собственное значение, |лг| - длина вектора х, а
||Л|| - норма матрицы А (см. Халмош[1]). Тогда если р(г)х = Ах,то
mi*i=ip(r)*i= lluir)(g)xP(g) <
? r
<2ll^(r)(g) II p (^) I JC I = I JC I"
так как все матрицы U^ig) унитарны и потому имеют единичную норму.
Следовательно, |А) ^ 1, причем равенство достигается тогда и только
тогда, когда U(-r)(g)x = Хх при всех g, для которых p(g) > 0. Но элементы
из G, для которых это верно, образуют класс смежности по совокупности
элементов, определяемых из условия U^(g)x = х, а такая совокупность
представляет собой истинную подгруппу G0 (если только индекс г не
относится к единичному представлению), так как наше представление
неприводимо1).
') Упомянутый класс смежности есть G0go = goGo, где G(r)(go)x = Хх. Так
как элементы g, для которых Gogo - gGo, образуют подгруппу, содержащую
G0, то она должна совпадать с G, т. е. gGo = Gog, и наша теорема
оказывается неверной тогда и только тогда, когда множество, на котором
p(g) = 0, является нормальным делителем или классом смежности по нему.
22
3.3. Приложение к генетике
Итак, |Я| <1. Отсюда следует, что [p{r)Y сходится к нулевой матрице (за
исключением случая индекса г, соответствующего единичному представлению,
когда [pir)Y - единичная матрица при всех t). Окончательно получаем, что
так как (1/т!) 2 U{r) (g) равно единице, если г соответствует единичному
представлению, и равно нулю в противном случае (что следует из
результатов задачи (б) в разделе 3.1).
Таким образом, предельное распределение является равномерным
распределением на группе Sm, т. е. в пределе все тасования колоды карт
равновероятны. Анализ проведенного доказательства показывает, что для
последнего результата указанное выше условие также и необходимо.
3.3. Приложение к генетике
Как будет видно из дальнейшего, особо важную роль играют подстановочные
представления, в которых каждому элементу группы сопоставляется
перестановка некоторого множества (число элементов которого равно степени
представления). Матрицы таких представлений все состоят только из нулей и
единиц, причем в их каждой строке и каждом столбце имеется лишь-одна
единица. Соответствующее представление унитарно (даже ортогонально) в
естественной метрике. Характер х(ё) представления равен числу элементов,
остающихся на месте при перестановке g. Можно разбить множество Т на
классы транзитивности, включив два элемента в один класс тогда и только
тогда, когда один из них можно перевести в другой с помощью некоторой
