Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
3.1. Представления конечных групп
17
- U*(g)- Нетрудно показать, что каждое представление конечной группы
эквивалентно унитарному представлению1). Если задано такое представление
U группы G и каждому элементу и алгебры R(G) сопоставлена матрица Р (и) =
2 " (g) U (g), то, как легко видеть, для любой последовательности
скаляров а3-
Р (и * v) = Р (и) Р (v), р(2"/"/)= Ца/^Ц); кроме того, если положить и =
2'ы (g) • g-1, то Р (и) = Р* (и).
Именно эти факты мы и имели в виду, когда назвали Р представлением
алгебры R(G). Это представление симметрическое в том смысле, что здесь
выполняется также и последнее равенство.
Очевидно, что приводимость некоторого представления группы G эквивалентна
приводимости соответствующего представления алгебры R(G). Так как каждое
представление симметрической алгебры R(G) эквивалентно представлению Р(и)
указанного вида, а последнее симметрично, то отсюда вытекает, что всякое
представление конечной группы вполне приводимо. Остается еще разрешить
следующие задачи: (а) построить все неприводимые представления и (б)
определить, каким образом заданное представление из них конструируется.
(а) В некотором (не вполне удовлетворительном) смысле все неприводимые
представления можно получить следующим образом. Рассмотрим регулярное
представление
g-+A(g): A (g) (2 а (Л) - h) = 2a(/z)g • h,
при котором элементу g группы G сопоставляется указанный "левый сдвиг" на
R(G). Напомним, что алгебра R(G) сама, в частности, является векторным
¦) Для доказательства этого факта достаточно указать скалярное
произведение, относительно которого матрица A(g) была бы унитарна, т. е.
найти такую эрмитову положительно определенную матрицу Н, что
/4(g)#/4*(g) = Н. Легко видеть, что в качестве Н можно взять 2 4(g) А*
("?).
18
3.1. Представления конечных групп
пространством; вектор этого пространства и (относительно базисных
векторов g) можно представлять себе как столбец скаляров u(g). При таком
выборе базиса в R(G) регулярное представление будет целиком состоять из
матриц перестановок, т. е. таких матриц, элементами которых служат только
нули и единицы, причем в каждой строке или столбце стоит единственная
единица. Это представление группы G, так же как и всякое другое,
разумеется, вполне приводимо, но оно обладает еще тем важным свойством,
что содержит любое неприводимое представление. Иначе говоря, если мы
преобразуем регулярное представление к виду (2.2) *), то любое
неприводимое представление появится в качестве одного из блоков на
главной диагонали. В действительности если поле скаляров комплексное (или
все представления абсолютно неприводимы), то можно даже утверждать, что
неприводимое представление степени d содержится ровно d раз в регулярном
представлении, так что 2 d2 = п.
Приведенный результат не дает полного ответа на вопрос о нахождении
неприводимых представлений, так как остается еще решить задачу об
эффективном разложении регулярного представления на неприводимые.
(б) Перенумеруем каким-либо образом все унитарные неприводимые
представления группы G и обозначим r-е из них через t/M(g); пусть tif)
(g) - элемент на пересечении I-й строки и /-го столбца матрицы t/(r>(g).
Тогда, обозначая степень представления через dr, легко показать, что
т S "</{8) иы (?_1) = ttS ин (е) и\$(8) =
о
[ 0, если верно хотя бы одно из неравенств I f s, i ^Ф- I, j ^Ф- k,
d7l, если г = s, i = l, j = k и представление абсолютно неприводимо.
') Так мы обозначаем формулу (2) раздела 2, "
3.1. Представления конечных групп
19
Определим скалярное произведение любых двух функций /1 и /2 на G формулой
(ft, f2) = ^'^lfi(g)f2(g),
так что относительно этого скалярного произведения все элементы матриц
абсолютно неприводимых представлений взаимно ортогональны.
Назовем
XW(g) = tr Uw(g)} = tr {A(r) (hgh~1)} (1)
(где trА означает след матрицы А) характером г-го неприводимого
представления. Из сказанного выше следует, что
10, если г Ф s,
1, если г = s и представление абсолютно неприводимо.
Пусть B(g) - произвольное представление, рассматриваемое над полем
комплексных чисел (или заранее известно, что все неприводимые
представления абсолютно неприводимы). Тогда, обозначая-след матрицы B(g)
через %(g), получаем, что (х, Х(г)) равно кратности r-го неприводимого
представления в данном представлении. Таким образом, если известны
характеры всех неприводимых представлений, то приведенную форму любого
представления над полем комплексных чисел можно найти с помощью указанных
соотношений (то же самое верно и в любом случае, когда все представления
абсолютно неприводимы). Наконец, оказывается, что множество функций (т.
е. векторов) ufj(g) полно в пространстве R(G), т. е. что всякий элемент
из R(G) можно представить в виде их линейной комбинации (при тех же
условиях, касающихся абсолютной неприводимости). В самом деле, поскольку
2 d2 = п, существует п таких векторов и{[}> причем все они линейно
независимы (в силу соотношений ортогональности), а число п совпадает с
