Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хеннан Э. -> "Представления групп и прикладная теория вероятностей" -> 4

Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.

Хеннан Э. Представления групп и прикладная теория вероятностей — М.: Мир, 1970. — 115 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppiprikladnayateoriya1970.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 38 >> Следующая

раз, подставить / векторов х, у, ..., z (не обязательно имеющих
одинаковую размерность), а потом заменить
14
2. Группы и их представления
их на (Ач)'х, (В~1)'у, ..., (C~l)'z, то мы получим линейное
преобразование А <8> В <8> ... <8> С тензорного произведения векторных
пространств X, Y, .. . , Z.
Другим примером представления, который следует иметь в виду, служит
единичное представление, получаемое, если приравнять /1(g) тождественному
оператору при всех g.
Если произвести замену базиса в пространстве X, то матричная форма
каждого из операторов /1(g) изменится на PA(g)P~} = B(g). Очевидно, что
матрицы В (g) снова задают представление группы G. Это новое
представление называется эквивалентным исходному.
Займемся теперь анализом представлений, т. е. попытаемся разложить всякое
представление на фундаментальные (неразложимые далее) компоненты. Если
задано множество матриц S, то возможно, что с помощью замены базиса
векторного пространства, в котором они действуют (т. е. с помощью
перехода к эквивалентным матрицам), все наши матрицы можно одновременно
привести, к виду
?
?
?
(2)
где все элементы, лежащие вне квадратных блоков на главной диагонали,
равны нулю (разумеется, не Исключено, что больше одного такого блока
получить невозможно). Это равносильно тому, что пространство X
представимо в виде прямой суммы подпространств
Х = Х1@Х2(
инвариантных относительно преобразований из 5. В таком случае говорят,
что множество матриц 5 является прямой суммой составляющих блоков. Если
подпространство Xj не содержит подпространств (от-
2. Группы и их представления
15
личных от него самого и от нулевого подпространства), инвариантных
относительно всех преобразований из S, то говорят, что множество S
неприводимо на этом подпространстве. Приводимость или неприводимость
множества S зависит от выбора используемого нами числового поля (элементы
этого поля мы будем часто называть скалярами, хотя рассматриваться будут
лишь поля вещественных и комплексных чисел). При расширении этого поля,
например при переходе от поля вещественных чисел к полю комплексных
чисел, неприводимое множество матриц может стать приводимым. Если это не
происходит и S оказывается неприводимым при любом расширении числового
поля, то говорят, что множество S абсолютно неприводимо. Далее, если для
любого фиксированного поля скаляров можно привести множество S к
указанному выше виду, где все подпространства Xj неприводимы, то S
называется вполне приводимым. В этом случае блоки вида
р строк Га : 0 ~
...... 9
N - р строк Lb : с _
где из четырех выделенных блоков только блок в верхнем правом углу
состоит из одних нулей, не могут встретиться в нашем разложении. В самом
деле, иначе подпространство Xj соответствующих векторов с р первыми
нулевыми компонентами (т. е. столбцов с р первыми строками, равными нулю)
было бы инвариантным. Такого рода инвариантных подпространств,
разумеется, не может быть, если множество S содержит наряду с каждой
матрицей А эрмитово сопряженную к ней матрицу А* (получаемую из А с
помощью транспонирования и перехода к комплексно сопряженной матрице,
если поле чисел комплексное). Поскольку все линейные комбинации
произведений элементов множества S, так же как и тождественный оператор,
представимы в виде (2), если в этом виде представимы сами элементы из S,
всегда можно при решении задачи о приведении S к виду (2)
16
3.1. Представления конечных групп
рассматривать вместо S новое множество R, состоящее из элементов
множества S, единичной матрицы и всех таких линейных комбинаций. Это
множество R называется линейной ассоциативной алгеброй, причем к этому
названию добавляется еще прилагательное симметрическая, если R замкнуто
относительно перехода к эрмитово сопряженным элементам. Из того, что было
сказано выше, следует, что всякое конечномерное представление такой
симметрической алгебры вполне приводимо.
3.1. Представления конечных групп
В конце предыдущего раздела мы описали, как исходя из представления
некоторой группы, построить соответствующую ему алгебру матриц.
Оказывается, что эту алгебру можно рассматривать как представление
некоторой абстрактной алгебры R(G), построенной следующим образом.
Рассмотрим формальные суммы
и = (g) • g>
где u(g)-произвольная последовательность скаляров, а суммирование ведется
по всем элементам группы G. Линейные комбинации таких сумм определяются
обычным образом; кроме того, используя групповое умножение, можно
определить также и умножение наших сумм, ассоциативное и дистрибутивное
относительно сложения. Мы будем обозначать это новое умножение
звездочкой:
и * V = 2 и (g) • g 2 V (g) • g =
= u(ffA-I)o(A)}g="
= 2 | 2 и(/г)п(/г_1^)|й-.
Особо важную роль играют унитарные представления группы G, т. е. такие
представления, что матрица /4(g) унитарна (или ортогональна, если поле
скаляров вещественное) при всех geO. В этом случае мы будем писать U (g)
вместо /4(g), так что U(g~l) -
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 38 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed