Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
Прим. ред.
2. Группы и их представления
И
процессов второго порядка (разделы 5.2-5.4, 6, 7,
11.2, 12.3, 13.2, 13.3). В отличие от общепринятого смысла мы будем
использовать этот термин для обозначения семейств случайных величин,
зависящих от параметра, являющегося точкой пространства, на котором
действует группа преобразований, при условии, что соответствующая
ковариационная функция (зависящая от пары точек рассматриваемого
пространства) инвариантна относительно одновременного применения одного и
того же преобразования к обоим аргументам 1). Область исследования таких
процессов достаточно обширна, и она может рассматриваться как плод,
выросший из некоторых специальных задач дисперсионного анализа. Вторая
тема, которой мы будем заниматься, - обобщение предельных теорем теории
вероятностей на ситуации, в которых "случайные величины" принимают
значения из некоторой группы (разделы 3.2, 9.2, 11.3, 13.4). Третья тема
посвящена многомерному статистическому анализу (разделы 8.2, 10.2).
2. Группы и их представления
Всюду далее через G мы будем обозначать некоторую группу с элементами g,
h, ... . Умножение в группе записывается как gh, единичный элемент
обозначается буквой е, а обратный элемент - символом g~l, так что eg = ge
- g и g~lg - gg~! = e при всех g^G.
Если H - подгруппа группы G, то равенство G = еН + g2H + g3H + ... + grH,
где giH - правый класс смежности, означает, что эти классы не
пересекаются и исчерпывают всю группу G. Целое число г называется
индексом подгруппы Н в G и обозначается г = [G : Н]. Если Н - нормальный
делитель, т. е. gHg~l = Н при всех g <= G, то множество
1) Более обычное название таких семейств случайных величин -
однородное в широком смысле случайное поле. Заметим также, что вместо
термина ковариационная функция в литературе на русском языке чаще
употребляется термин корреляционная функция или функция корреляции. -
Прим. ред.
12
2. Группы и их представления
классов смежности само имеет групповую структуру, так как (giH) (gjH) =
gkH при gigj^gkH. Эта новая группа называется факторгруппой,и
обозначается G/H.
Мы предполагаем, что какие-то примеры групп уже известны читателю, другие
появятся позже. Обозначим через п порядок группы (число ее элементов),
если это число конечно.
Под представлением группы G понимается гомоморфное отображение эт°й
группы в груп-
пу операторов, действующих в векторном пространстве X. Тот факт, что
отображение является гомоморфизмом, означает, что
gh^A{gh) = A{g)A{h), g-'^A(g-') = {A(gT\ е->/,
где I - тождественный (единичный) оператор, т. е. /х = х для всех iel
Если отображение, кроме того, взаимно однозначно, то оно называется
изоморфизмом. На некоторое время мы ограничимся рассмотрением лишь
конечномерных векторных пространств (скажем, размерности N), так что
оператор Л(§) можно представить в виде квадратной матрицы порядка N. В
этом случае будем говорить, что представление имеет степень N.
Существуют, конечно, группы, которые с самого начала определяются как
группы матриц; так, например, GL(N, R) -это группа всех невырожденных
квадратных матриц порядка N с вещественными элементами. Эта группа имеет
и отличные от себя самой матричные представления, одно из которых мы
здесь упомянем, так как оно нам понадобится в дальнейшем. Пусть Xi, Хг,
..., xN - компоненты вектора х (рассматриваемого как столбец,
составленный из этих вещественных чисел). Рассмотрим пространство всех
однородных полиномов (форм) степени / от переменных Xj. Всякий такой
полином можно записать в виде
2 Eft, i2, ..., i)xtx^ ... xlf,
2. Группы U их представления
13
где суммирование ведется по всем ij от 1 до N и F(ii if)-симметрическая
функция своих аргументов. Подсчет числа возможных наборов (с
повторениями) / целых чисел ij if, выбранных из совокупности чисел 1, 2,
..., N, показывает, что эти полиномы образуют векторное пространство
размерности
• Если мы теперь заменим х на у = (А~1)'х, где A^GL(N, R), то исходная
форма перейдет в
2Hl'i Уу
где
F' (ip ..., if) = 2a (г,, i') ... a (if, i'f) F (г'(, ..., i'f). (1) 4
Здесь a(i,j) -элемент i-й строки и j-то столбца матрицы А. Таким образом
мы поставили в соответствие
матрице А оператор А}, действующий в
мерном пространстве "симметрических тензоров ранга /", т. е. функций
F{i\, ..., if), которые не меняются при произвольной перестановке
аргументов.
Нетрудно проверить, что операторы Af действительно задают представление
группы GL(N, R). Симметрические тензоры ранга / образуют линейное
подпространство пространства всех тензоров ранга / (называемого f-кратным
тензорным произведением X на самого себя). Это линейное подпространство
инвариантно относительно преобразования (1), т. е. отображается этим
преобразованием на себя. Как преобразование полного тензорного
пространства преобразование (1) записывается в виде
Af = А (r) А (r) ... (r) А
и называется f-кратным тензорным (или кронекеров-ским) произведением
представления А. Если в этом определении вместо вектора х, повторенного /
