Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
виде линейных комбинаций 7 базисных элементов /, В, G, Т, ВТ, ТВ и ВТВ.
Эта алгебра некоммутативна и, следовательно, должна содержать хотя бы
одну подалгебру, изоморфную алгебре квадратных матриц второго порядка. С
другой стороны, она не может содержать подалгебру матриц третьего
порядка, так как размерность последней равна 9. Таким образом, вся
алгебра изоморфна алгебре матриц, нормальная форма которых имеет вид
5.3. Стационарные процессы второго порядка 37
Явный вид идемпотентных элементов указан в работе Джеймса [2]. Первые три
элемента дают соответственно компоненты, отвечающие общему среднему,
остаточной компоненте в блоках (без учета той части в разложении
дисперсии, которая отвечает способу обработки) и ошибке внутри блоков.
Четвертый идем-потентный элемент можно разбить на компоненту,
соответствующую способам обработки в блоках без учета эффекта обработки в
разложении дисперсии, и компоненту способов обработки, не учитывающую ту
часть разложения дисперсии, которая отвечает ошибкам в блоках. Так как
для описания этой части ковариационной матрицы нужны четыре постоянные,
то две выбранные составляющие четвертой компоненты не исчерпывают всей
доступной информации. В связи с этим обычно предлагается альтернативный
подход, при котором четвертая компонента разбивается на компоненту
способов обработки в блоках (игнорирующую способы обработки) и компоненту
способов обработки (игнорирующую разбиение на блоки). Конечно,
естественно также желать уменьшить число степеней свободы второй и
третьей компонент, но такое уменьшение возможно лишь при наличии более
полной априорной информации.
5.3. Стационарные процессы второго порядка
Теперь мы приступим к проблеме, математически эквивалентной задаче,
которой мы только что занимались. Эта проблема рассматривалась многими
авторами в различной степени общности (см. в первую очередь статью Яглома
[2]1)); здесь мы ее рассмотрим отчасти из-за ее собственного
математического интереса, а отчасти потому, что она представляет собой
конечномерный аналог весьма важных моделей, о которых будет говориться в
дальнейшем.
Рассмотрим множество Т, на котором определен стационарный в широком
смысле процесс x{t), т. е.
•) А также примыкающие к этой статье работы [1,3] того же автора. - Прим.
ред.
38
5.3. Стационарные процессы второго порядка
семейство вещественных случайных величин x(t) с ковариационной функцией
y(s, t) = E(x(s)x(^)), удовлетворяющей условию
YCgs, gt) = y(s, t), geG,
где G-некоторая транзитивная группа перестановок элементов множества Т.
Предположим (временно), что коммутаторная алгебра этого представления
группы G перестановками множества Т коммутативна. Термин стационарный
здесь следует понимать как стационарный относительно группы симметрий G.
Рассмотрим векторное пространство всех линейных комбинаций функций x(t) с
комплексными коэффициентами. Здесь функции x(t) зависят не только от
параметра t, но и от не выписываемой явно переменной м, принимающей
значения из "выборочного пространства", образованного всеми возможными
множествами {л: (^)}, допустимыми с точки зрения имеющегося распределения
вероятностей. Наше векторное пространство конечномерно, так как мы
рассматриваем линейные комбинации лишь конечного числа функций.
Рассмотрим суммы
t
И положим
X (t) = 2 zf'1 (t). (1)
i, Я
(Здесь под К снова понимается стационарная подгруппа некоторой точки t0.)
Тогда zf> будут случайными величинами. Мы знаем, что
I Y (?о". t0), gQv = t0,
У ° ~{y(gt0' t0), gt0 = gou = gogrlto< = Аз-
так что у (и, п) зависит только от множества преобразований, переводящих
и в и. Отсюда
Л2)
5.3. Стационарные процессы второго порядка
39
поскольку функция y(gto,to) двояко инвариантна и, следовательно,
представима в виде линейной комбинации зональных сферических функций.
Кроме того,
у (и, v) = 2 2 (") yf-1 (v) Е (г^гЩ =
i.X i, V-
= 22 ф(гм (ёГГ1) (?о~') Е {^zf). (3)
Но <pw(g) = 2ф^)(ё'Г1)фг-Я')(§'ф1). так что, сравнивая ра-
i
венства (2) и (3), получаем
' ' ' ( 0 в противном случае.
Соотношение (1) (называемое спектральным разложением) дает, таким
образом, представление процесса x(t) в виде суммы ортогональных компонент
с дисперсиями Е (| zf} |2) = f (X), где функция f(X) называется
спектральной плотностью. Легко проверить, что fi?'.) равна величине d\l
tr(Г?\)> упоминавшейся в предыдущем разделе, и di lx'EKx = d^1 2\^] Р,
так
i
что ситуация здесь лишь по форме, но не по существу
отличается от той, которая встретилась нам при изу-
чении дисперсионного анализа.
Если G - абелева группа, так что и факторгруппа G/К абелева, то можно
положить Т = G и равенства (1) и (2) перейдут в
x{g)= 2 %(g)z(%),
xsd ____________________________ (Г)
z (х) = 2 * (g) % (g),
G
y(g)= 2 ^fix)x(g), (2')
is a
причем
E (z (%) z (%')) = 0, если % Ф
E (\z (%) p) = f (%).
Случай, когда G - это группа циклических перестановок п объектов,' важен
для анализа временных
40
5.3. Стационарные процессы второго порядка
