Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
объектов, то допустимыми преобразованиями будут перестановки строк,
оставляющие столбцы без изменения, или перестановки столбцов, оставляющие
без изменения строки, или произведения тех и других перестановок. Однако,
например, две ячейки из одного и того же блока не могут быть переставлены
в различные блоки. Симметрия в этом случае соответствует априорной
модели, согласно которой все способы обработки эквивалентны в отношении
производимого ими эффекта (или, точнее говоря, такой модели, в которой
распределение вероятностей результатов наблюдений симметрично
относительно различных способов обработки). Конечно, более точное
априорное знание возможных эффектов обработки может оказаться полезным
для сужения группы симметрии планирования. В таком случае описанная выше
общая группа допустимых симметрий заменится некоторой своей подгруппой.
Коммутаторная алгебра представления группы симметрий данного планирования
эксперимента в пространстве векторов, компоненты которых соответствуют
всевозможным ячейкам, упорядоченным произвольным образом, была названа
Джеймсом "алгеброй соотношений" (relationship algebra)1). Эта алгебра
порождается единичной матрицей, "матрицей блоков" В (содержащей единицу
на пересечении s-й строки и /-го столбца, если s-я и t-я ячейки
принадлежат одному блоку), и аналогично определенной "матрицей способов
обработки" Т. Коммутаторная алгебра всегда содержит также "универсальную
матрицу" G, состоящую из одних единиц. В эксперименте с
рандомизированными блоками ВТ = ТВ = G.
') Проф. Джеймс отметил, что алгебра, порожденная "матрицами соотношений"
(содержащими единицу на пересечении г'-й строки и /-го столбца, если i-я
и /-я ячейки связаны некоторым определенным образом, и нули на всех
остальных местах) не всегда будет коммутаторной алгеброй группы симметрий
некоторого планирования эксперимента. См. Джеймс [2] и Манн [1].
5.2. Дисперсионный анализ
35
В случае когда алгебра соотношений коммутативна, дисперсионный анализ
имеет особенно простой вид. В самом деле, если ограничиться случаем
нормального распределения вероятностей результатов наблюдений, то
достаточно будет знать лишь матрицу среднеквадратических ошибок
наблюдений, принадлежащих различным ячейкам. Эта матрица по предположению
принадлежит коммутаторной алгебре группы перестановок, и, следовательно,
она полностью известна, если известны ее диагональные элементы после
того, как она приведена к диагональному виду. Пусть Еу- идемпотентный
оператор проектирования на подпространство, в котором действует A-я
неприводимая компонента (размерности dy) данного представления. Обозначим
через Е операцию осреднения (т. е. перехода к математическому ожиданию),
и пусть х- вектор наблюдений. Тогда
Е (х'Е^х) = -Jj- Е tr (.xxfEK) = J- tr (ГЕк),
где Г - матрица среднеквадратических ошибок наблюдений. Выписанная
величина - это собственное, значение матрицы Г, стоящее на месте,
соответствующем А-му неприводимому подпредставлению, когда матрица Г
приведена к диагональному виду. Так как 2 Ек = 1
К
и ЕуЕц - нулевая матрица (если А=?ц), то полный средний квадрат
(дисперсия) здесь распался на отдельные компоненты (эти компоненты имеют
d% степеней свободы). Если наши априорные знания более информативны, то
группа симметрий заменится некоторой своей подгруппой и коммутаторная
алгебра станет более обширной. При этом первоначальные неприводимые
компоненты распадутся на суммы меньших новых "неприводимых компонент" и
соответственно матрицы Еу, уже не будут определять разложение дисперсии,
а отвечающие им dy_ степеней свободы разобьются на меньшие группы
(разумеется, возникающая новая алгебра соотношений не обязана оставаться
коммутативной).
36
5.2. Дисперсионный анализ
Если же алгебра соотношений некоммутативна, то ситуация более сложна, так
как собственные векторы матрицы Г здесь заранее неизвестны и поэтому
собственные значения не определяют эту матрицу. Единичная матрица и здесь
распадается на сумму попарно ортогональных "примитивных" идемпотентных
элементов (здесь слово "примитивный" указывает на то, что они не
распадаются далее на идемпотентные элементы алгебры). В случае когда
рассматривается алгебра над полем комплексных чисел, являющаяся
коммутаторной алгеброй представления группы, эти примитивные
идемпотентные элементы осуществляют проектирование на подпространства, в
которых действуют неприводимые представления (возможно, повторяющиеся).
Этот факт иллюстрируется в работе Джеймса [2] на примере
сбалансированного неполного блока. В этом случае матрицы блоков и
способов обработки удовлетворяют соотношению
ТВТ = XG + (г - К) Т,
где К--число блоков, в которых встречаются ячейки, соответствующие любым
двум фиксированным способам обработки, а г -число повторений способа
обработки. Обозначим через k число ячеек в блоке. Из написанного
соотношения можно вывести таблицу умножения для всей алгебры и показать,
что ее размерность равна 7, причем все ее элементы можно представить в
