Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
неэквивалентными неприводимыми представлениями, взаимно ортогональны:
Ь;ьЬ лб.
§ 2. Бесконечные дискретные группы
329
Точно так же для характеров неэквивалентных неприводимых представлений выполнялось соотношение
2 X*w (a) x,v) (а) = 6^ . g = 6^ 2 1. (3.147)
а а
Кроме того, мы показали, что функции Dfj (а) образуют полную систему, т. е. любую функцию /(а), заданную на групповом многообразии, можно разложить по функциям Dfj (а). Аналогично, любую функцию класса g(a) можно разложить по полной системе функций класса х,дЧа)'
При выводе соотношений, о которых шла речь выше, мы в двух местах пользовались тем, что рассматривали именно конечную группу. Во-первых, суммирование по группе означало сложение конечного числа величин. Если же мы имеем дело с бесконечной дискретной или непрерывной группой, нам еще следует понять, как заменить конечную сумму бесконечной или же интегралом. Во-вторых, при выводе соотношений ортогональности (3.139) и в § 11 гл. 3 [равенство (3.101)] мы использовали результат, состоящий в том, что если /(/?) —функция, определенная на групповом многообразии, то
2/(Я)=2/(5Я). (8.3)
R R
где 5 — произвольный элемент группы. Это утверждение, очевидное для конечной группы из ее групповой таблицы, требует дополнительных пояснений для того, чтобы его можно было применять к бесконечным или непрерывным группам, если нам придется доказывать соотношения ортогональности.
§ 2. Бесконечные дискретные группы
Рассмотрим прежде всего бесконечные дискретные группы. Элементы группы Ra перенумерованы с помощью индекса а, принимающего целочисленные значения, например 1, 2......... оо. Группо-
вое многообразие представляет собой счетное множество „точек" Ra. Наши элементы мы могли бы перенумеровать либо с помощью всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля), либо с помощью элементов любого счетного множества. (Под счетным множеством мы понимаем множество, которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством положительных целых чисел.) Так, запись
0 1—1 2 —2 ...
I I I I I и т.д.
1 2 3 4 5 ...
устанавливает соответствие между множеством всех целых чисел и множеством положительных целых чисел. Закон КОМПОЗИЦИИ RbRn = Rr
330
Глава 8. Непрерывные группы
дает нам функцию, которая позволяет найти параметр элемента группы, служащего произведением двух элементов, по значениям параметров сомножителей, т. е.
с = ф(а, Ь). (8.1)
Например, совокупность преобразований координат
Rn: х'— х-\- п, (8.4)
где п—целоё число, образует группу. Преобразованием, обратным преобразованию Rn, служит (Rn)1 = R~n, единичный элемент отвечает нулевому значению параметра. Эта группа абелева:
с = ф(а, Ь) = ф(Ь, а) = а-{-Ь. (8.5)
Этой группе преобразований изоморфна группа всех целых чисел с обычным сложением в качестве закона композиции.
Дискретные бесконечные группы обладают одной особенностью: чтобы перенумеровать их элементы, нам всегда достаточно одного дискретного параметра. Рассмотрим, например, группу линейных преобразований вида:
х' = х-\-т )
Rmn' / = >>-{-л І т' л~целые числа- (8 6)
При такой записи единичный элемент имеет вид элементом, обратным элементу Rmn, будет (Rmn)~1 = R-m> а произведением .RmnRm'n' будет элемент Rm+m, п+п,- Однако ясно, что кажущуюся зависимость от двух параметров легко исключить. В рассматриваемом случае точками группового многообразия служат точки двумерной решетки:
—1.1 ч-О, 1 4-1, 1 2, 1
t t
—1. 0 0, 0 ->1,0 2, 0
—1, —1 ->0,-1 ->1,-1 t -> 2, -
Но те же элементы мы можем перенумеровать с помощью целых положительных чисел следующим образом:
0,0 1.0 1,1 0,1 —1,1 —1,0 —1,—1 0,-1 1,-1 2,-1
1234 5 6 7 8 9 10
и т. д.
и закон композиции задать заново уже с прмощыр только одного нового параметра,
§ 2. Бесконечные дискретные группы
331
Другим примером служит группа преобразований
Rr: x'=rx, (8.7)
где т — некоторое положительное рациональное число. Можно установить взаимно однозначное соответствие между рациональными числами и целыми положительными числами. Запишем, например, рациональное число г в виде r=rti/n, где m и «—взаимно простые целые положительные числа. Затем мы перечислим все г, для которых m -f- п = 2, т. е. m = 1, ti= 1, г = 1. Условие m -f- ti = 3 даст
числа у, -у (сначала мы выбираем ге числа, у которых m меньше),
л 13.
затем условие т-\-п — А даст числа у, у (мы опускаем из рассмотрения любую пару чисел т, п, имеющих общий делитель, поскольку соответствующее им г должно было бы встретиться раньше, когда т и п были взаимно простыми) и т. д. Аналогичным образом мы всегда можем перенумеровать произвольную дискретную бесконечную группу с помощью целых положительных чисел.
Другими примерами дискретных бесконечных групп служат группы преобразований
х' = X -\- п |
, , _ > п — целое число,
/ = у + 2 п \
х' = ГХ 1
, ^ j г—рациональное число, отличное от нуля.
Мы должны указать еще одну особенность таких счетных групп. Рассмотрим группу преобразований
х' = х-\-п, п — целое число.
Если присоединить к этой группе преобразование х' = — х и образовать все произведения элементов расширенной группы, мы получим группу преобразований
