Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Неприводимые представления имеют один и тот оке вид для всех значений (к0> к0). Это можно показать с помощью изоморфизма (автоморфизма)
W—>W, u—>au (а — вещественно),
(12.186)
(W, u) -»(W\ au). k ’
§ 7. Малые группы
577
Это преобразование есть изоморфизм, поскольку
(W', u')(W, и) = (1ГГ. U/'u + u'),
(W, au')(W\ аи) = (Г'Г, аГ'и + аи'^
= (W’W, а[\Ги + и']).
Итак, если нам задано любое представление D(W), D(и) группы, то операторы
D(W), D'(u) = D(au) также задают некоторое представление. Но
D' (и) ф (k0, l) = D (au) ф (к0, С) = е1 <к°- аи>ф (к0> I) = е‘ (““о- -)ф (к0, С).
Таким образом, новое представление соответствует вектору ak0, обладающему тем свойством, что
(ak0> ak0) = a2 {k0> k0) и (ak0)4 = ak04.
Tan 2. Здесь мы снова имеем два подслучая: 0+, когда компонента &04 положительна, и 0_, когда компонента k04 отрицательна. Масса покоя т частицы равна нулю. Рассуждения, приведенные при рассмотрении типа 1, показывают, что представления одинаковы при всех значениях kM. Мы всегда можем найти некоторое преобразование W, чтобы рассматриваемый нами типичный вектор к имел вид (О, 0, 1, 1). Малая группа Ок является совокупностью преобразований W, оставляющих вектор к = (0, 0, 1, 1) неизменным. Эти преобразования могут быть трех типов:
1) группа вращений в плоскости (1, 2)
COS 0 — sin 0 0 O'
sin 0 COS 0 0 0
^12 (®) — 0 0 1 0
0 0 0 1 _
(12.187)
2) преобразование
Тг(а) =
0
1
О
О
— а
О
1 —
а1
~Т
а2
т
а
О
а2
ТГ
а2
1 + 2
(12.187а)
578 Г лава 12. П роективные представления. Малые группы
3) преобразование
Т2ф)
“ 1 0 0 0
0 1 — ь Ъ
0 ь \-ь- 2 ъг 2
0 ь Ъг 2 1 +
(12.1876)
где а и b—произвольные вещественные числа. Преобразования 7\ и Т2 образуют однопараметрическую абелеву группу. 7\ (а) и Т2(Ь) коммутируют, и мы получаем, что малая группа изоморфна группе евклидовых движений в двумерном пространстве.
Этот результат легко получается, если заметить, что рассматриваемая нами группа является трехпараметрической подгруппой однородной группы Лоренца. Затем мы пытаемся найти те инфинитези-мальные матрицы, которые оставляют вектор к инвариантным, а именно матрицы:
П2>
аи ~Ь а34> аЧА + а
34»
(12.188)
порождающие три описанные выше подгруппы.
Тип 3. Если к0 = 0, то базисные функции инвариантны относительно всех преобразований. Малая группа есть группа собственных
/3
ортохронных однородных преобразований Лоренца 04 .
Тип 4. В качестве типичного представителя выберем вектор к0 = (1, 0, 0, 0). Малой группой является группа, оставляющая неизменной первую координату. Следовательно, эта группа есть
9
группа О з преобразований Лоренца с двумя пространственными и одной временнбй координатой.
Физический смысл, по-видимому, имеют только представления типа 1 и типа 2.
Задача. Покажите, что инфинитезимальные матрицы (12.188) порождают конечные преобразования (12.187).
ЛИТЕРАТУРА
1. Boer пег H., Group Representations, Berlin, 1955.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, М., 1963.
3. Littlewood D. Е., The Theory of Group Characters, Oxford, 1950.
4. Lomont J. S., Applications of Finite Groups, New York, 1959. (В книге приведена подробная библиография.)
5. Любарский Г. Я., Теория групп и ее применение в физике, М., 1958.
6. П о н т р я г и н Л. С., Непрерывные группы, М., 1954.
7. Van der Waerden В. L., The Group-Theoretic Method in Quantum Mechanics, Berlin, 1932. (Имеется перевод: Ван-дер-Варден Б. Л., Метод теории групп в квантовой механике, Харьков, 1938.)
8. W е у 1 Н., Theory of Groups and Quantum Mechanics, Princeton, 1931.
9. W e у 1 H., The Classical Groiips, Pflncetbn, 1946. (Имеется перевод: Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, М., 1947.)
10. Wigner Е. P., Group Theory and Its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, New 1939. (Имеется перевод: Виг-
нер E., Теория rpynfi и ев приложения к квантовомеханической теории атомных спектрбв, М., 1961.)
Глава 2
К § 10. При выводе групп магнитной симметрии мы следуем статье Б. А. Тавгера и В. Н. Зайцева [ЖЭТФ, 30, 564 (1956)]. См. также книги Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (Статистическая физика, М., 1964; Электродинамика сплошных сред, М., 1963).
Глава 5
К § 5. В основу рассмотрения вещественных представлений положена классическая статья Шура и Фробениуса [S с h u г, F г о b е п і и s, Berliner Berichte, 186 (1906)].
К §8. Wigner Е. P., Amer. Journ. Math., 63, 57 (1941).
К § 9. Wigner Е. P., On the Matrices which Reduce the Kronecker Products of Representations of S. R. Groups, Princeton, 1951.
Глава 7
К § 1—5. Литтлвуд [3].
К § 6—7. Yamanouchi Т., Proc. Phys.-Math. Soc., Japan, 19, 436 (1937).
580
Литература
Формула (7.114) в литературе ранее не приводилась, хотя она непосредственно следует из цитированной выше статьи Шура и Фробениуса.
К § 8. Н и п d F„ Zs. Phys, 43, 788 (1927).
К § 9—10. Бернер [1], Вейль [9].
К § 11. Фок В. А., ЖЭТФ, 10, 961 (1940). Демков 10. Н„ ЖЭТФ, 34, 491 (1958).
К § 12. Литтлвуд [3].
К § 13. Приводимый нами графический метод вычисления внутренних произведений представляет собой обобщение и упрощение метода, предложенного с статье Гамба и Радикати [Q а ш b a, Radicati, Rend. Acad. Lincei, VIII, 14, 632 (1953)].
