Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Гк = к',
ГГкко = Гк.ко,
rk.Wkk0 = k0,
так что преобразование W^WW^ принадлежит группе Око и
Г=Гк.ГкоГк\ (12.175)
где U^ko — некоторый элемент группы Gko.
Но теперь представление элемента W полностью определено:
D(W)г),(k, 0 =
= D(Wh')D(Wko)ip(k0, 0 =
= ?>(UV)2i|>(ko, Л)[?>(^к0)]^ =
ТІ
= 2и>(к'. л) [0(^ОЦ;
JL (12.176)
Д(Г)ф(к, 0 = 2ф(Гк, л)[?>(Гко)ц.
674 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Равенства (12.176), (12.170) и
D(u)i|>(k, ?) = е‘ и^ф(к, О полностью определяют неприводимое представление группы 1Рп.
Задача. Докажите, что выбор вектора к0 при вычислении малой группы несуществен. Покажите, что представления, полученные из малой группы Gk, где k = эквивалентны представлениям, полученным из
малой группы Gko.
Для евклидовой группы в случае трех измерений „скалярным произведением11 {х, у) служит обычное скалярное произведение X • у. Вектор к0 может быть преобразован путем поворота W во все векторы к, имеющие ту же самую длину ко • ко = ко- Малая группа Ок0 есть группа поворотов вокруг направления вектора к0. Так как эта группа абелева, она имеет только одномерные представления. Индекс ? принимает единственное значение у0. Это значение либо целое, либо полуцелое.
Для группы Лоренца имеем
{*, x}*=x\+xl-\-x\ — x\ = gl]xlxJ,
Г-1-1, /=1,2,3, (12.177)
giJ=efilf е, = |_^ 1 = А'
где x4==ct. Преобразование x'=U^x оставляет форму {х, х) инвариантной:
{U/х, Гх) = (х, х),
WxgWx = xgx, (12.178)
WgW = g.
Взяв от обеих частей равенства (12.178) определитель, найдем, что det W = ± 1. Собственными преобразованиями Лоренца являются такие преобразования, для которых detU^ = -(-l.
Выписав компоненту (4.4) равенства (12.178), получим
™4lguW]4 = S44<
или
^44—w214—W24~-W34=L (12.179)
Перейдя в равенстве (12.178) к обратным величинам и заменив преобразование W~x на преобразование W, мы придем к соотношению
WgW=*p. (12.178а)
§ 7. Малые группы
575
Взяв компоненту (4,4), получим
w44—‘w41~w42 — ‘w43==1' (12.179а)
Из последнего равенства мы видим, что
™244 > 1 '¦ W44> + 1 ИЛИ (12.180)
Преобразования Лоренца, у которых называются орто-
хронными. Собственные ортохронные преобразования Лоренца удовлетворяют условиям
detlT=-fl, ®44> + 1, (12.181)
и их можно получить из тождественного преобразования пугем непрерывного изменения последнего. Такие преобразования образуют
’ 3
группу, которую мы обозначим G4 .
Говорят, что вектор х времени-подобный, если
{х, х) < 0; (12.182)
пространственно-подобный, если
(х, х} > 0; (12.182а)
и нулевой, если
(х, х}=0. (12.1826)
Скорость материальной частицы должна быть меньше скорости света с, вследствие чего ее пространственные и временное смещения Ах{ и Дt должны удовлетворять условию
(Axj)2 -f- (Д*г)2 + (Д*з)2 < c2(At)2. (12.183)
Таким образом, пространственно-временнбе смещение материальной частицы есть времени-подобный вектор.
Говорят, что времени-подобный вектор положителен (обращен в будущее, лежит в положительной поле светового конуса), если jc4 > 0, и отрицателен (обращен в прошлое, лежит в отрицательной поле светового конуса), если х4 < 0.
Говорят, что нулевой вектор лежит на положительной поле светового конуса, если лг4 > 0, и на отрицательной поле светового конуса, если хА < 0-
Покажем теперь, что собственные ортохронные преобразования Лоренца переводят положительные времени-подобные (или нулевые) векторы в положительные времени-подобные (или нулевые) векторы, т. е. если х\ + х\ + Х23 х\ и ХА > 0, то и вектор х', получившийся после преобразования, удовлетворяет тем же условиям.
Первая часть утверждения следует из условия (х', х'} = (х, х). Четвертая компонента вектора х' имеет вид
x4 = w^xx +™42^ + 'a'43^3+'a'44JC4- (12.184)
576 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Неравенство Шварца, примененное к первым трем слаї аемым в правой части (12.184), дает
I WuXj + w42x2 + w43x3 |2 <
< (^41 + +®«) (Х1 + *2 +- 4) < (w44 wlixl С12.1 85)
Это неравенство показывает, что последнее слагаемое в (12.184) больше суммы первых трех слагаемых. Таким образом, х'А имеет
тот же знак, что и w,.x.. Если то х\ имеет тог же знак,
44 4 41 4
что и д:4.
При отыскании неприводимых представлений собственной орто-хронной группы Лоренца мы выбираем некоторый вектор к0 и находим неприводимые представления малой группы Ок0. Существует четыре главных типа представлений:
1) вектор к0 времени-подобный, (к0, к0) < 0;
2) вектор к0 есть нулевой вектор, (к0, к0) = 0, но к0 ф 0;
3) к0 = 0;
4) вектор к0 пространственно-подобный, (к0, к0) > 0.
Тип 1. Взяв вектор к0, мы получаем функции, соответствующие
всем векторам k = U^k0. Как показано выше, если компонента kM положительна (отрицательна), то компонента k4 положительна (отрицательна). Эги два случая мы будем отличать с помощью нижних
значков 1+ и 1_. Если (k0, к0}=— т2, то мы можем найти преобразование W такое, что вектор k = U^k0 будет иметь kx = k2 = k3 = 0 ^ 2
и kt—т . Если к0 — положительный времени-подобный вектор, то &4 = -|~Ym2\ если же к0—отрицательный времени-подобный вектор, то k4 = — У т2. Построим малую группу для вектора вида (0, 0, 0, k4). Эта малая группа будет группой тех преобразований Лоренца W, которые оставляют неизменной четвертую компоненту вектора, т. е. группой О з вращений в трехмерном пространстве. Неприводимые представления такой малой группы нам известны: они являются представлениями DU) с целым или полуцелым j. Для каждого значения j мы получаем неприводимое представление малой группы и соответствующее неприводимое представление группы Лоренца. Константы kA = ± ~\f т2 и J определяют массу и спин системы.
