Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
где к — любой вещественный вектор.
При рассмотрении пространственных групп в кристаллах мы обнаружили, что группа непрерывных параллельных переносов Г3 заменяется дискретной группой параллельных переносов вдоль трех направлений, не лежащих в одной плоскости. Параллельные переносы, описывающие решетку, задаются векторами
а = -f п2а2 я3а3 (пь п2, п3 = 0, ±1, ...), (12.163)
где векторы aj, а2, а3 некопланарны. Группа абелева и поэтому имеет только одномерные неприводимые векторные представления. Приведенное нами выше рассуждение показывает, что для каждого вещественного вектора к мы получаем одномерное представление
Однако в рассматриваемом случае в силу дискретности группы представления, соответствующие различным векторам к, могут оказаться эквивалентными. Два вектора к и к', которые отличаются на величину
b = -j- т2Ъ2 -\~т3Ъ3 (mh т2> т3 — 0, ±1, ...)» (12.164)
и
ф(г) = J dVd^e1*1 — J ?ИшкФк(г) (12.162)
D (и) Ф (г) = J ??какЄгк-иФк(г). (12.162а)
РФк = кфк,
0(а)фк = е'кафк.
где
(12.165)
§ 7. Малые группы
571
приводят к эквивалентным представлениям, поскольку
е‘Ья— I
Векторы bj, b2 и Ь3 являются векторами базиса обратной решетки, а вектор b называется вектором обратной решетки. Чтобы найти полный набор неэквивалентных представлений, мы находим набор таких векторов к, длина каждого из которых меньше или равна
длине любого вектора к —)— b. Найденные таким образом векторы к
заполняют первую зону Бриллюэна.
Базисные функции фк можно реализовать в виде функций от координат
Фк(г) = е'к'гФк(г), (12.166)
где период функции ф|< (г) совпадает с периодом решетки
фк(г+а) = фк(г). (12.167)
Заставляя вектор к пробегать первую зону Бриллюэна, мы получаем полный набор функций.
Задача. Начертите первую зону Бриллюэна для плоской решетки, у которой угол 0 между векторами и а2 равен 90°. То же сделайте для случая | а, | = | а21 и 0 = 120°.
§ 7. Малые группы
Рассмотрим группу преобразований 1рп
х' = Гх + и, (12.109)
('W', u') (W, и) = (W'W, Г'и+и'), (12.110)
которые оставляют инвариантной форму Fp(x—у), где
П
(12.107)
В этом случае билинейная форма („скалярное произведение*)
п
{*. у} = 2 ъхы
1-і
остается инвариантной при однородных преобразованиях
{Гх, U7y) = {x, у). (12.168)
Если мы, найдя некоторое представление группы /?, ограничимся затем рассмотрением подгруппы Тп, то найденное представление
распадется в прямую сумму одномерных представлений группы п.
572 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Рассмотрим какое-нибудь неприводимое представление группы Тп, которое содержится в представлении группы In'.
D(u)iHk0, 9 = e' “)ф(к0, ?), (12.169)
где С — некоторый дополнительный набор индексов, которые могут понадобиться для того, чтобы как-то обозначать базисные функции представления группы 1рп. Базисная функция ф(к0, С) задает одномерное подпространство представления группы 1рп. Применим к обеим частям равенства (12.169) оператор D(W), который соответствует „повороту" (W, 0). Так как
(Г,0)(1, u) = (l, Wn)(W, 0),
то
D (№) D (и) ф (к0, ?) = е''{к»-ииО(Г)ф(к0, ?)] =
= О(Ги)[О(И7)ф(к0, 0].
Положив W'u = u/, с учетом (12.168) получим
О(и')[?)(Г)ф(к0, C)] = ei{k» ^'u'l [?>(Г)ф(к0, С)] =
= е‘ {^»- »’} [?>(Г)ф(к0, ?)]. (12.170)
Таким образом, ?>(UP)i|)(k0, С) принадлежит тому подпространству представления группы Тп, которое соответствует вектору U^k0. Вектор U^k0 получается из компонент вектора к0 при преобразовании W. В соответствии с (12.168)
{Гк0, Гк0) = {к0, к0).
Следовательно, если пространство некоторого неприводимого представления группы 1рп содержит представление группы Тп, соответствующее вектору к0, то оно должно содержать также и представления группы Тп, соответствующие всем векторам к, имеющим ту же „длину", что и вектор к0, т. е. всем векторам к, для которых
{к, к] == {к0, к0)
и которые могут быть получены из вектора к0 при преобразованиях W.
Рассмотрим теперь подгруппу Око, которая состоит из всех „поворотов" оставляющих без изменения вектор к0:
Гкок0 = к0. (12.171)
Группа Око называется группой волнового вектора к0, или малой группой.
$ 7. Малые группы
573
Из (12.170) мы видим, что функции D (U^ko) ф (ко, 0 также принадлежат вектору к0. Рассмотрим эго подпространство и найдем неприводимое представление малой группы Око:
?(И\)г|;(ко, 0 = 2'Кко, (12.172)
її
где индексы Г| нумеруют базисные функции неприводимого представления группы Gko.
Покажем теперь, что неприводимые представления всей группы 1рп автоматически определяются путем выбора некоторых неприводимых представлений (12.172) малой группы
Пусть Wk—„вращение", которое переводит вектор к0в вектор к:
Гкк0 = к. (12.173)
Для каждого вектора к, который удовлетворяет условию {к, к) = {к0, к0),
мы выбираем одно преобразование Wk. Любой другой поворот, переводящий вектор к0 в вектор к, можно записать в виде W^W^. Опре-
делим наборы базисных функций для каждого вектора к, соответствующие базисным функциям ^(Ц,, ?):
У (к, 0 = ?* (И^ііЖко, 0. (12.174)
Если поворот W переводит вектор к в вектор к', то
