Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
мы видим, что группы 0„ и Опп~р являются одной и той же группой.
Если р = п, то форма положительно определена, и группа Оп„ есть ортогональная группа в я-мерном пространстве—группа Оп.
560 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
В случае р п мы получаем группы, аналогичные группе Лоренца (для которой Я = 4, /7 = 3).
Преобразования группы Орп, которые можно получить из тождественного преобразования путем непрерывного изменения, образуют подгруппу Of, собственных псевдо-ортогональных преобразований. Преобразование W принадлежит подгруппе Of, если определитель этого преобразования равен 1 и если минор, содержащий р первых его строк и столбцов, положителен.
Задача. Докажите предыдущее утверждение.
Мы можем также рассматривать группы 1рп неоднородных псевдо-ортогональных преобразований
x'=Wx-|-u, x'i=wijxJ-\-ui (/= 1...............п), (12.109)
где и — произвольный вещественный вектор (сдвиг). Если преобразование W оставляет инвариантной форму Fp(x), задаваемую равенством (12.107), то преобразование (12.109) оставляет инвариантной форму Fp(\—у), где х и у—произвольные векторы. Если мы ограничим преобразования W до группы O'f, то группа 1рп окажется суженной ДО своей собственной подгруппы l'f.
Если после преобразования (12.109) выполняется еще одно преобразование
х" = W'x'-j-u',
то результирующее преобразование имеет вид
х" = W' (Wx + и) + и' = W'Wx + (и' + W'u).
Таким образом, если обозначить через (W, и) преобразование (12.109), то групповое умножение в группе будет задано формулами
(W', u')(W, u) = (W'W, W'u + u'). (12.110)
Этот закон комбинирования элементов группы удобно интерпретировать как матричное умножение матриц (я-)-1)-го порядка: преобразованию (W, и) мы сопоставляем матрицу
Г W и[
§ 4. Проективные представления псевдо ортогональных групп 561
где последний столбец состоит из компонент вектора и, после которых следует 1 Элемент (1, 0) является единичным элементом В группе /л-
Задачи. 1. Проверьте закон группового умножения (12.110) для матриц (12 111).
2. Покажите, что преобразование, обратное преобразованию (W, и), имеет вид (W~l, —М.
3. Покажите, что сдвиги (1, и) образуют в группе 1Р инвариантную подгруппу Тп и что фактор-группа
Мы хотим построить алгебры Ли групп 0„ и 1рп. Наиболее просто это делается с помощью матриц (12 111) „Вращения11 в плоскости ij образуют полный набор однопараметрических подгрупп группы Орп „Вращение" в плоскости ij есть некоторое преобразование,
действующее на переменные xt и х}
W{i!)\ x'i = WilXi-\-WllXj,
, (сумм
X) = W,lXi + W]]Xj,
x'r = хг для r ф і, j,
(суммирования нет!), (12.112)
(12.113)
Если
ег = е7= ± 1,
то преобразование W^ есть вращение:
^ COS 0 —(— sin 0,
x'] = — xt sin 0 -)- X; COS 0, x'r = Xr для г ф i, j.
(12.114)
Соответствующая матрица (12.111) имеет вид
0 1 •
(12.115)
562 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
где сама матрица записывается так:
І І
1
1
COS I
— Sin I
sin \
COS I
(12.116)
1 _
Чтобы найти соответствующую инфинитезимальную матрицу, вычислим dWiiJ)/dQ при 0 = 0:
dWai) f + 1 на месте Ш
Матрица — имеет { —1 на месте (Ji), (12.117)
е-о
I 0 на всех остальных местах.
Если
то „вращение" представляет собой преобразование Лоренца:
(12.118)
х\ = xt ch і
х. sh і
i
x'j = — xt sh 0-)- x j ch 0, при г Ф t, J,
X’r=Xr
1 на месте
и соответствующая инфинитезимальная матрица имеет (IJ) и (Ji); все остальные ее элементы равны нулю.
Оба случая можно охватить, если выбрать инфинитезимальные матрицы в виде
(™<iJ))ki = ~ + Zjbjfiik = — gtfijb + gjfiik, (12.119)
где
gu = *fitl> Silgim = blm> gag 11 = n- (12.120)
Обозначим элемент алгебры Ли, отвечающий матрице , через atj. Пользуясь соответствующими матрицами (12.119), мы можем вычислить коммутатор [ai], akl]
Iaij, akl\ = gjkaa —gika]i~\-Suajk S;iaik<
ап = — а1} {I, j, k, l=\...........n).
(12Л21)
§ 4. Проективные представления псевдо-ортогональных групп 563
Элемент (/, л+1) инфинитезимальной матрицы сдвига вдоль оси I равен единице, все остальные элементы равны нулю:
(*(,))«=а,Ал+1- (12 122)
Обозначим соответствующий элемент алгебры Ли через bt Сдвиги коммутируют друг с другом, так что
\bti bk\ = 0 для всех I и k. (12.123)
Пользуясь формулами (12 119) и (12 122), находим
Ы = gjA ~ glkbr (12 124)
Равенство (12 121) полностью описывает алгебру Ли группы 0„. Добавляя к этому равенству условия (12 123) и (12 124), мы получаем алгебру Ли группы 1рп.
Умножив равенство (12 121) на g]k и воспользовавшись (12 120), получим
g,Aair а*г1=(« — 2) ай (12.125)
(gjkCi}k = 0 в силу того, что элементы gjk симметричны, a ajk антисимметричны) Аналогично, из (12 124) находим
bk]=(n-l)bt. (12 126)
Рассмотрим сначала однородные группы Орп. При п = 2 алгебра Ли имеет единственный элемент а12 Группа циклическая, и все ее представления являются векторными представлениями. При п > 2 воспользуемся соотношением (12.125), чтобы преобразовать функцию F, определенную формулой (12 97):
{n — 2)F(ai;, akl)= F([grhair, ahj], akl) =
= F([grk4tn akil ah]) — F([akJ, akl], grhair) =
