Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
и^ = іпЬуи(5)и(5)' (12-58)
Поскольку квадрат унитарного или антиунитарного оператора есть унитарный оператор, мы заключаем, что оператор U (г) является унитарным для любого элемента г из окрестности единицы. Наконец, всякий элемент г, принадлежащий той же части пространства параметров, что и единичный элемент, можно представить в виде произведения гхг2 элементов, принадлежащих некоторой заданной
окрестности единицы. Поскольку каждый из операторов U(rfi унитарный и произведение конечного числа унитарных операторов унитарно, мы заключаем, что U(г) есть унитарный оператор.
Преобразования, входящие в часть пространства параметров, содержащую единичный элемент, образуют подгруппу. Наше рассмотрение будет ограничено такой подгруппой О'. Для любых элементов г и s, принадлежащих О', операторы U (л) и U (s) унитарны и удовлетворяют равенствам (12.55) и (12.56а). До сих пор мы не накладывали на оператор U(/¦) никаких условий непрерывности, когда элемент г пробегал группу О. Можно показать, что в окрестности единицы е операторы представления U(л) можно выбрать так, чтобы они были непрерывными, т. е. для любого е>0 и любого вектора ф существовала некоторая окрестность элемента г такая, что
||і/(г)ф — t/(s) ф|| < є (12.59)
для элементов s, принадлежащих Ш. Из этого результата следует, что множитель to (г, s) в соотношении (12.57) представляет собой непрерывную функцию элементов г и s. Для доказательства непрерывности со (г, s) следует воспользоваться тождеством
(О (Л, s) [U (rs) — и (/¦ V)! ф + и (/¦') [U {s') — и (S)] ф +
-|~[U{r')—U{r)) U{s) ф = [(о(л', s') — co(r, s)] U(r's')ty. (12.60)
Мы заключаем, что элемент г группы О' в окрестности единицы
можно представить непрерывными унитарными операторами U(г) и что
множитель to (г, s) в (12.57) есть непрерывная функция. Функция to (г, s) называется локальным множителем. Ее можно записать в виде
а (г, s) = e‘i ('.*), (12.61)
где Е,— вещественная непрерывная функция от г и s, которую мы назовем локальным показателем.
Операторы U (г) можно умножать на любую функцию ф (г), которая непрерывна и имеет модуль, равный единице. Операторы
V (г) = ф (г) U (г) = еЧ (г) • U (г).
(12.62)
552 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
где ?(г)—вещественная непрерывная функция, будут также непрерывными. Если соотношение (12.62) подставить в (12.57), то получим
U' (г) U'(s) = ф (г) ф (s) U (г) U (s) = ф (г) ф (s) to (г, s)U (rs) =
Эта процедура вполне аналогична соответствующей процедуре для конечных групп. [Ср. с равенствами (12.21) и (12.22).} Множители to (г, s) и ы'(г, s) являются эквивалентными локальными множителями. Локальные показатели l(r, s) и l'(r, s) связаны между собой соотношением
Выберем оператор U (е) так, чтобы он был тождественным оператором. Если в соотношении (12.57) положить r = s = e, то
Если гильбертово пространство представления (12.57) конечномерно, то операторы U (г) будут унитарными матрицами п X п. Если ввести обозначение
так что
_ ф (г) Ф (s)
Ф(«)
U'(r)U'(s) — &'(r, s)U'(rs),
to (г, s)U'(rs),
(12.63)
(12.64)
l'(r, s) = l(r, s) + Z(r) + Z(s)~Z(rs). (12.65)
U (e) U(e) = co(e, e)U (e),
откуда
(o(e, e) = 1 и \(e, e) = 0.
Если в соотношении (12.57) положить s = e, то U (г) U (е) = to (г, e)U (г),
откуда
(о(л, е)=1, 1(г, е)=0.
(12.66)
Точно так же
со(е, г) = 1, 1(е, г) = 0.
Пользуясь соотношением (12.57) и ассоциативным законом
(rs)t = r(st),
(12.66а)
(12.67)
\(г, s)-\-l(rs, t) = l(r, sf) + l(s, t).
(12.67a)
det U (r) = D (r), то определитель D(r) будет непрерывным и
|D(r)|=l.
§ 3. Проективные представления групп Ли
553
Взяв определитель от обеих частей равенства (12.57), найдем
D{r)D(s)=ein^r- s)D(rs), (12.68)
где п—размерность представления. Если положить
U' (г) = ¦ UVj- (12.69)
[0(г)]1/л
и разделить соотношение (12.57) на (12.68), то окажется
U'(r)U'(s) = U'(rs). (12.70)
Таким образом, конечномерные проективные представления всегда эквивалентны векторным представлениям. При выводе этого результата мы исходили из предположения о том, что элементы Г И S находятся вблизи единицы е. В выражении (12.69) мы должны выбрать какой-то вполне определенный корень п-й степени из D(r). Результат (12.70) остается верным, коль скоро мы продолжаем находиться в окрестности единицы. Если пространство параметров группы односвязно, то любую замкнутую кривую в этом пространстве можно стянуть в точку. В этом случае корень [?)(л)]1/п может быть задан однозначным образом вдоль любого пути. Если элемент г описывает замкнутый путь, то [?)(/¦)]1/л возвращается к своему
первоначальному значению. Для трехмерной группы вращений это рассуждение не проходит. Ее пространство параметров двусвязно, и в случае четного п мы вместо (12.70) получаем следующий
результат:
W (г) W (s) = ± U' (rs). (12.70а)
Два локальных показателя | и которые удовлетворяют соотношению (12.65), называются эквивалентными
1 = 1'. (12.71)
Если то Если | = ?' и !' = !", так что
l'(r, s) = l(r, s) + ?,(/•) + ?, (®) —Сі («).
%" (Л s) = !'(/¦, S)-f-^2(,‘) -t~?2(S)-?2(rS)>
