Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Вп = Ы, T2 = t\, ТВТ = сВ~1- (12.34)
Константы bat можно включить в матрицы В и Т (в' = Ь~1/пВ,
Т’ = l). После этого наши уравнения примут вид
Вп= 1, Г2=1, ТВТ = сВ~1. (12.34а)
Возводя последнее из уравнения (12.34а) в п-ю степень и пользуясь первыми двумя, находим, что с” = 1, т. е. константа с должна быть корнем п-й степени из единицы. Пусть с = гт, е = ехр(2лl/п). Если матрицу В умножить на ет', то первые два уравнения (12.34а) останутся верными, а последнее заменится на следующее:
ТВТ = ет~2т В~1 ¦
Если п нечетно, то т' всегда можно подобрать так, чтобы т — 2/и'=0 или т — 2т' = п. Тогда *
ТВТ~1 = В,
и мы получим только обычные векторные представления. Когда же п четно, то мы можем вообще исключить с, если m четно, или заменить с на е, если m нечетно. Таким образом, при четном п имеется
два класса К0 и В классе KQ константа с= 1, и соотношения между операторами представлений имеют вид
Вп= 1, Г2= 1, ТВТ = В~\ (12.35)
Мы получаем обычные неприводимые векторные представления. В случае же класса К\ константа с = е, и соотношения между операторами представлений имеют вид
Вп = 1, Г2=1, ТВТ=гВ~1 (п — четное). (12.36)
При п = 2 мы получаем четверную группу, уже рассмотренную нами выше. Легко показать, что неприводимые представления (12.36) двумерны.
Задача. Покажите, что неэквивалентные неприводимые представления (12.36) имеют вид
В-.
где г = 1, 2...............л/2.
Г6' 0 7-=Г° 1
Lo е>-ч' [і о
(12.37)
546 Г лава 12. Проективные представления. Малые группы
Симметрическая группа Sn порождается (п—1) транспозициями
Л = (12), Г2 = (23)......?„_, = («-1, я).
которые удовлетворяют соотношениям
Г? = Е, (TjTJ+lf = E, TrTs = TsTr, (12.38)
/ = 1......rt — 1,
j= 1.......«— 2,
r = 1, 2.......«— 3,
5 = Л + 2.........n — 1.
Наоборот, можно показать, что абстрактная группа, определяемая соотношениями (12.38), изоморфна группе Sn.
Предположим, что у нас имеется некоторое проективное представление группы S„, в котором элементам Tt сопоставлены матрицы At. Соотношения между операторами представления, соответствующие (12.38), запишутся в виде
A* = ail, (12.39)
{AjAj+lf=bj\, (12.39а)
ArAs = crsAsAn (12.396)
где at, bj, crs~константы, отличные от нуля. Константы crs появляются только при п 4 и не изменяются при умножении матриц Ат на число [это видно из соотношений (12.396)]. Таким образом, константы crs определяются дробно-линейными преобразованиями.
Из (12.396) мы получаем
AfA^A/- — C/-sAs*
Возводя в квадрат и пользуясь (12.39), находим
d— 1. (12.40)
Индексы г, r+1, s, 5+1, которые встречаются в перестановках Тг и Ts из равенств (12.38), все различны. Если взять другую пару перестановок ТГ', 7V, у которых индексы г', / +1, s', s' +1 все различны, то найдется перестановка Т, переводящая индексы г, r-f-1, S, 5+1 В индексы г', /¦'+ 1, 5', 5' + 1, ТЭК ЧТО
ТТтТ~х — 7V, TTST~X = Ts>. (12.41)
Если в представлении перестановке Т сопоставлен оператор А, то соответствующие соотношения для операторов представления имеют вид
ААТА~Х = сАТ’, AAsA~l =dAS’. (12.41а)
§ 2. Примеры проективных представлений конечных групп
547
где с и d — константы, отличные от нуля. Из соотношения (12.396) следует
AArA-lAAsA~l = crsAAsA~lAArA~l.
Пользуясь равенствами (12.41а), получаем
cdAr'As' = cdcrsAS'Ar', или Ar'As< = crsAs'Ar'.
Сравнивая с (12.396), т. е. с равенством
Ar'As' — Cf's' As'Ат',
находим
Crs Cr's' •
Таким образом, согласно соотношению (12.40), все константы crs одинаковы и равны ±1. Полагая /=±1, имеем crs= j для всех Г И S.
Из (12.39а) имеем
AjAj+iAj = bjAjhAj XAjl\.
Возводя в квадрат это равенство, получаем
AjAj+lA2jAу+іЛ j = b2A]+\А j lAj+iAj lA1, b2-
a)aj+1 =------5---¦ (12.42)
ajaj+i
j2 3 3 V j — CL jCL у+1*
Поскольку матрицы Лг можно умножать на произвольные константы, константы а1 в (12.39) можно выбирать произвольным образом. Мы произведем выбор этих констант двумя различными, но эквивалентными способами.
Во-первых, положим
a, = a2= .. . =а„_1=/. (12.43)
Из (12.42) следует, что bj= ± 1. Матрицы Ви ..., Вп_х определим с помощью выражений
5, = Л,, B2 = jbxA2, В3 = blb2A3, Д, = У&АМ4- • • • (12.44)
и обнаружим, что они удовлетворяют соотношениям
B2j = j 1, (BjBJ+lf = j 1, B,BS = jBsBr. (12.45) Во-вторых, положим
ах = а2 = . .. = ап_х = 1 (12.43а)
и введем матрицы Сх........С„_х:
С\—Ах, Cj= ЬХА2, С3 = ^1^Лд, С^^Ьфф$А^, ..., (12.44а)
548 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
которые удовлетворяют соотношениям
С?= 1, (С jCJ+xf = 1, CrCs = jCsCr. (12.45а)
При j = -(- 1 обе системы сводятся к системе (12.39), и мы получаем класс К0 векторных представлений группы перестановок. При j =— 1 мы получаем класс К\ проективных представлений со следующими соотношениями между операторами представления:
Две последние системы соотношений взаимозаменяемы. Если все ма-
будут удовлетворять соотношениям (12.46а).
При п < 4 константы crs в соотношения (12.38) не входят. В силу этого при я<4 симметрическая группа имеет лишь обычные неприводимые векторные представления, которые мы нашли в гл. 7. При я^4 существуют дополнительные неприводимые представления, операторы которых удовлетворяют соотношениям (12.46). Шур показал, что при п^- 4 число таких неэквивалентных неприводимых представлений второго типа равно числу разбиений числа п на неравные целые числа:
